Changes

|վերնագիր = [[Տարերք]], Գիրք 2

|հեղինակ = [[էվկլիդես]]

|աղբյուր = [https://farside.ph.utexas.edu/Books/Euclid/Elements.pdf Euclid's Elements of Geometry, English translation by Richard Fitzpatrick]

}}

== Պնդում 1 <ref>Այս պնդումը հետևյալ հանրահաշվական նույնության երկրաչափական տարբերակն է՝ <math>a (b + c + d + ... ) = a b + a c + a d + ...</math></ref>==

Եթե կան երկու ուղիղներ, և դրանցից մեկը բաժանված է ցանկացած թվով մասերի, ապա այս երկու ուղիղներով կազմված ուղղանկյունը հավասար է չբաժանված ուղղի և բաժանված ուղղի յուրաքանչյուր մասի կազմած ուղղանկյունների գումարին։

AB ուղիղը կամայականորեն բաժանված է C կետում: Պնդումն այն է, որ AB-ի քառակուսին հավասար է AC և CB ուղիղների քառակուսիների և AC և CB ուղիղների արտադրյալի քառակուսու գումարին:

AB ուղիղը կամայականորեն բաժանված է C կետում: Պնդումն այն է, որ AB-ի քառակուսին հավասար է AC և CB ուղիղների քառակուսիների և AC և CB ուղիղների արտադրյալի քառակուսու գումարին:ADEB քառակուսին կազմված է AB կողմեվ [ [[Տարերք/Գիրք 1#Պնդում 46|Պնդում 1.46]] ] և գծված է BD անկյունագիծը։ C կետով գծված է CF ուղիղը, որը զուգահեռ է AD կամ BE կողմին, իսկ G կետվ գծված է HK ուղիղը, որը զուգահեռ է AB կամ DE կողմին [ [[Տարերք/Գիրք 1#Պնդում 31|Պնդում 1.31]] ]: Քանի որ CF-ը զուգահեռ է AD-ին և BD-ն հատում է դրանք, CGB արտաքին անկյունը հավասար է ADB ներքին անկյանը [ [[Տարերք/Գիրք 1#Պնդում 29|Պնդում 1.29]] ]: ADB անկյունը հավասար է ABD անկյանը, քանի որ BA և AD կողմերը հավասար են [ [[Տարերք/Գիրք 1#Պնդում 5|Պնդում 1.5]] ]: Հետևաբար, CGB անկյունը հավասար է GBC անկյանը, իսկ BC կողմը հավասար է CG կողմին [ [[Տարերք/Գիրք 1#Պնդում 6|Պնդում 1.6]] ]: Նաև CB-ն հավասար է GK կողմին, իսկ CG-ն հավասար է KB կողմին [ [[Տարերք/Գիրք 1#Պնդում 34|Պնդում 1.34]] ]: Այսպիսով, GK-ն հավասար է KB կողմին, իսկ CGKB պատկերը հավասարակողմ է։ Այն նաև ուղղանկյուն է, քանի որ CG և BK կողմերը զուգահեռ են և CB-ն հատում է դրանք, KBC և GCB անկյունները հավասար են և ուղիղ [ [[Տարերք/Գիրք 1#Պնդում 29|Պնդում 1.29]] ]։ KBC-ն ուղիղ անկյուն է։ BCG-ն նույնպես ուղիղ անկյուն է, ինչպես նաև CGK և GKB անկյունները [ [[Տարերք/Գիրք 1#Պնդում 34|Պնդում 1.34]] ]: Հետևաբար, CGKB ուղղանկյուն է։ Քանի որ CGKB-ն նաև հավասարակողմ, հետևաբար այն քառակուսի է։ Նույն կերպով, HF-ը նույնպես քառակուսի է [ [[Տարերք/Գիրք 1#Պնդում 34|Պնդում 1.34]] ]։ Հետևաբար HF-ը և KC-ն համապատասխանաբար AC և CB կողմերով կառուցված քառակուսիներ են և AG ուղղանկյունը հավասար է GE ուղղանկյանը [ [[Տարերք/Գիրք 1#Պնդում 43|Պնդում 1.43]] ]։ AG-ն ուղղանկյուն է՝ կազմված AC և CB կողմերով, և GC կողմը հավասար է CB կողմին։ GE ուղղանկյունը հավասար է AC և CB կողմերով կազմված ուղղանկյանը։ Հետևաբար AG և GE ուղղանկյունները հավասար են AC և CB կողմերով կազմված ուղղանկյան կրկնապատիկին։ HF-ը և CK-ը AC և CB կողմերով կազմված քառակուսիներ են։ Այսպիսով, չորս պատկերները՝ HF, CK, AG և GE, հավասար են AC և BC կողմերի քառակուսիների գումարին և AC և CB կողմերով կազմված ուղղանկյան կրկնապատիկին։ Բայց այս չորս պատկերները հավասար են ամբողջ ADEB պատկերին, որը AB կողմով կազմված քառակուսի է։ Հետևաբար, AB քառակուսին հավասար է AC և CB քառակուսիների և AC և CB կողմերով կազմված ուղղանկյան կրկնապատիկին։

Այսպիսով, եթե ուղիղը կամայականորեն բաժանված է մասերի, ապա ամբողջ ուղղով կազմված քառակուսին հավասար է նրա մասերի քառակուսիների գումարին և այդ մասերի արտադրյալի կրկնապատիկին։ Սա այն էր, ինչ պետք էր ապացուցել։

AB ուղիղը հավասարաչափ բաժանված է C կետում և անհավասարաչափ՝ D կետում։ Պնդումն այն է, որ AD և DB ուղիղներով կազմված ուղղանկյան և CD քառակուսու գումարը հավասար է CB քառակուսուն։

CEFB քառակուսին կառուցված է CB կողմով [ [[Տարերք/Գիրք 1#Պնդում 46|Պնդում 1.46]] ]։ Գծված է BE անկյունագիծը և D կետով գծված է DG ուղիղը, որը զուգահեռ է CE կամ BF կողմին [ [[Տարերք/Գիրք 1#Պնդում 31|Պնդում 1.31]] ]։ H կետով գծված է KM ուղիղը, որը զուգահեռ է Ab կամ EF կողմին [ [[Տարերք/Գիրք 1#Պնդում 31|Պնդում 1.31]] ]։ Քանի որ CH և HF ուղղանկյունները հավասար են [ [[Տարերք/Գիրք 1#Պնդում 43|Պնդում 1.43]] ], երկու ուղղանկյուններին գումարենք DM քառակուսին գումարենք։ Հետևաբար, CM ուղղանկյունը հավասար է DF ուղղանկյանը: Բայց, CM ուղղանկյունը նաև հավասար է AL ուղղանկյանը, քանի որ AC կեղմը հավասար է CB կողմին [ [[Տարերք/Գիրք 1#Պնդում 36|Պնդում 1.36]] ]։ Հետևաբար, AL ուղղանկյունը հավասար է DF ուղղանկյանը։ Այդ երկու ուղղանկյուններին գումարենք CH ուղղանկյունը։ Կստանանք, որ ամբողջ AH ուղղանկյունը հավասար է NOP գնոմոնին։ Բայց AH ուղղանկյունը կազմված է AD և DB կողմերով ը DH-ը հավասար է DB-ին։ Հետևաբար, NOP գնոմոնը հավասար է AD և DB կողմերով կազմված ուղղանկյանը։ LG-ն, որը հավասար է CD-ին, ավելացված է այդ երկու կողմերին։ Հետևաբար, NOP գնոմոնը և LG քառակուսին հավասար են AD և DB կողմերով կազմված ուղղանկյանը և CD քառակուսուն։ Բայց, NOP գնոմոնը և LG քառակուսին հավասար են ամբողջ CEFB քառակուսուն, որը կազմված է CB կողմով։ Հետևաբար, AD և DB կողմերով կազմված ուղղանկյան և CD քառակուսու գումարը հավասար է CB քառակուսուն։

Հետևաբար, եթե ​​ուղիղը բաժանված է հավասար և անհավասար մասերի, ապա ամբողջ ուղղի անհավասար մասերից կազմված ուղղանկյան և հավասար և անհավասար մասերի տարբերության քառակուսու գումարը հավասար է գծի կեսի քառակուսուն։ Սա այն էր, ինչ պետք էր ապացուցել։

AB ուղղիղը բաժանված է հավասար մասերի C կետում և BD հատվածը ավելացված է AB ուղղին։ Պնդումն այն է, որ AD և DB կողմերով կազմված ուղղանկյան և CB քառակուսու գումարը հավասար է CD կողմով կազմված քառակուսուն։

CD կողմով կազմված է CEFD քառակուսին [Պնդում 1.46 և գծված է DE անկյունագիծ։ B կետով գծված է BG ուղիղը՝ զուգահեռ EC կամ DF կողմին [Պնդում 1.31] և H կետով դծված է KM ուղիղը՝ զուգահեռ AB կամ EF կողմին [Պնդում 1.31]։ Վերջապես, A կետով գծված է AK ուղիղը՝ զուգահեռ CL կամ DM կողմին [Պնդում 1.31]։ Հետևաբար, քանի որ AC-Ն և CB-Ն հավասար են, AL և CH անկյունագծերով ուղղանկյունները նույնպես հավասար են [Պնդում 1.36]։ CH անկյունագծով ուղղանկյունն էլ հավասար է HF անկյունագծովին [Պնդում 1.43], որից հետևում է, որ AL անկյունագծով ուղղանկյունը հավասար է HF անկյունագծովին։ Երկու կողմերին էլ ավելացնենք CM անկյունագծով ուղղանկյունը։ Կստացվի, որ AM անկյունագծով ուղղանկյունը և NOP գնոմոնը հավասար են։ Իսկ AM անկյունածով ուղղանկյունը կարող ենք կառուցել AD և DB կողմերով։ DM-ն ու DB-ն նույնպես հավասար են, հետևաբար NOP գնոմոնը հավասար է AD-ով և DB-ով կառուցված ուղղանկյանը։ Երկու կողմին էլ ավելացնենք LG անկյունագծով քառակուսին, որը հավասար է BC հիմքով քառակուսուն։ Այսպիսով՝ AD և DB կողմերով ուղղանկյան և CB հիմքով քառակուսու գումարը հավասար է NOP գնոմոնի և LG անկյունագծով քառակուսու գումարին։ Սակայն NOP գնոմոնն ու LG անկյունագծով քառակուսին համարժեք են ողջ CEFD-ին, որը ընկած է CD-ի վրա։ Հետևում է, որ AD-ով և DB-ով կառուցված ուղղանկյան և CB հիմքով քառակուսու գումարը հավասար է CD հիմքով քառակուսուն։

Հետևաբար, հատվածը կիսելու և դրան ուղիղ գծով այլ հատված կցելու արդյունքում՝ ստացված ողջ հատվածով և ավելացված մասով կառուցված ուղղանկյան և հատվածի կեսով կառուցված քառակուսու գումարը հավասար է նախնական հատվածի կեսի և կցված հատվածի գումարով ստացված նոր հատվածով կառուցված քառակուսուն։

AG և GE անկյունագծերով ուղղանկյունները հավասար են, երկուսին էլ կցենք CF անկյունագծով քառակուսին։ Արդյունքում AF և CE անկյունագծերով ուղղանկյունները հավասար կլինեն։ Հետևաբար, AF և CE անկյունագծերով ուղղանկյունների գումարը հավասար է AF անկյունագծով ուղղանկյան կրկնապատիկին։ Սակայն AF և CE անկյունագծերով ուղղանկյունների գումարը KLM գնոմոնն է և CF անկյունագծով քառակուսին։ Հետևաբար, KLM գնոմոնը և CF անկյունագծով քառակուսին AF անկյունագծով ուղղանկյան կրկնապատիկն են կազմում։ Մինչդեռ AF անկյունագծով ուղղանկյան կրկնապատիկը նաև AB և BC կողմերով կառուցված ուղղանկյան կրկնապատիկին է հավասար։ BF-ն ու BC-ն հավասար են։ Հետևում է, որ KLM գնոմոնն ու CF քառակուսին հավասար են AB և BC կողմորով կառուված ուղղանկյան կրկնապատիկին։ Երկու կողմերին էլ ավելացնենք DG անկյունագծով քառակուսին։ Արդյունքում՝ KLM գնոմոնն ու BG և GD անկյունագծերով քառակուսիները հավասար են AB և BC կողմերով կառուցաված ուղղանկյանն ու AC անկյունագծովո քառակուսուն։ Բայց KLM գնոմոնն ու BG և GD քառակուսիները հավասարարժեք են ողջ ADEB-ին և CF-ին, որոնք AB և BC քառակուսիներն են։ Հետևաբար, AB և BC քառակուսիների գումարը հավասար է AB և BC կողմերով կազմված քառակուսու կրկնապատիկին և AC քառակուսուն։

Այսպիսով՝ հատվածը կամայական կետում հատելիս՝ ստացված հատվածներից պատահականորեն ընտրված մեկի և ողջ հատվածի քառակուսիների գումարը հավասար է ողջ և նախապես ընտրված հատվածներով կառուցված ուղղանկյան մակերեսի կրկնապատիկի և հատման արդյունքում առաջացած մյուս հատվածի երկարության քառակուսու գումարին։

C կետով՝ AB-ին ուղղահայաց կառուցենք CE հատվածը [Պնդում 1․11], այնպես, որ հավասար լինի AC-ին և CB-ին [Պնդում 1․3]։ Միացնենք EA-ն և EB-ն։ EC-ին զուգահեռ՝ D կետով կառուցենք DF-ը [Պնդում 1․31], իսկ AB-ին զուգահեռ՝ FG-ը F կետով [Պնդում 1․31]։ Միացնենք AF-ը։ Քանի որ AC-ն ու CE-ն հավասար են, անկյուն EAC-ն հավասար է AEC-ին [Պնդում 1․5]։ Եվ քանի որ C անկյունը ուղիղ անկյեւն է, EAC և AEC անկյունների գումարը նույնպես ուղիղ անկյուն է կազմում [Պնդում 1․32]։ Հետևում է, որ CEA CAE անկյուններից յուրաքանչյուրը ուղիղ անկյան կեսն է։ Նույն պատճառով՝ CEB և EBC անկյունները նույնպես հավասար են ուղիղ անկյան կեսին։ Հետևում է, որ AEB-ն ուղիղ անկյուն է։ Եվ քանի որ GEF-ն ուղիղ անկյան կես է, իսկ EGF՝ ուղիղ անկյուն (որը հավասար է ներքին ECB անկյանը [Պնդում 1․29]), մնացյալ EFG-ն նույնպես ուղիղ անկյան կես է [Պնդում 1․32]։ Հետևաբար, GEF անկյունը հավասար է EFG-ին, իսկ EG կողմը՝ GF-ին [Պնդում 1․6]։ Քանի որ անկյուն B-ն ուղիղ անկյան կես է, իսկ FDB-ն՝ ուղիղ անկյուն (որը հավասր է ներքին ECB անկյանը [Պնդում 1․29]), մնացյալ BFD անկյունը նույնպես ուղիղ անկյան կես է [Պնդում 1․32]։ Այսպիսով՝ B և DFB անկյունները, FD և DB կողմերը նույնպես հավասար են [Պնդում 1․6]։ Քանի որ AC-ն և CE-ն հավասար են, այդ կողմերով կառուցված համապատասխան քառակուսիները ևս հավասար են։ Հետևաբար, AC-ի և CE-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը հավասար է AC-ի վրա կառուցված քառակուսու կրկնապատիկին։ EA հիմքով քառակուսին հավասար է AC և CE հիմքերով քառակուսիների գումարին։ ACE անկյունն էլ ուղիղ է [Պնդում 1․47]։ Հետևաբար, EA հիմքով քառակուսին AC հիմքովի կրկնապատիկն է։ Քանի որ EG-ն և GF-ը հավասար են, համապատասխան հիմքերով քառակուսիները նույնպես հավասար են, և դրանց գումարը GF հիմքով քառակուսու կրկնապատիկն է։ EF-ի վրա կառուցված քառակուսին էլ հավասար է EG-ի և GF-ի վրա կառուցած քառակուսիների գումարին [Պնդում 1․47]։ Այսպիսով՝ EF հիմքով քառակուսին GF հիմքովի կրկնապատիկն է։ GF-ն էլ հավասար է CD-ին [Պնդում 1․34]։ Հետևաբար, EF հիմքով քառակուսին CD հիմքովի կրկնապատիկն է, EA հիմքովն էլ՝ AC-ի։ Հետևում է, որ AE և EF հիմքերով քառակուսիների գումարը AC և CD հիմքերով քառակուսիների գումարի կրկնապատիկն է։ AF հիմով քառակուսին AE և EF հիմքերովների գումարին է հավասար։ AEF-ն ուղիղ անկյուն է [Պնդում 1․47]։ Հետևաբար, AF հիմքով քառակուսին AC և CD հիմքերով քառակուսիների գումարի կրկնապատիկն է։ AD և DF հիմքերով քառակուսիների գումարը հավասար է AF հիմքով քառակուսուն։ D-ն ուղիղ անկյուն է [Պնդում 1․47], հետևաբար AD և DF հիմքերով քառակուսիների գումարը AC և CD հիմքերով քառակուսիների կրկնապատիկն է։ DF-ն էլ հավասար է DB-ին։ Արդյունքում՝ AD-ի և DB-ի վրա ընկած քառակուսիների գումարը AC-ի և CD-ի վրա ընկած քառակուսիների գումարի կրկնապատիկն է։

Ստաղվում է, որ հատվածը հավասար և անհավասար մասերի բաժանելիս՝ անհավասար մասերի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը հավասար է հատվածի կեսի և հավասար ու անհավասար մասերի տարբերության վրա կառուված քառակուսիների գումարի կրկնապատիկին։

C կետով կառուցենք CE հատվածը, որը կլինի AB-ին ուղղահայաց [Պնդում 1․11] և AC-ին ու CB-ին հավասար [Պնդում 1․3]։ Կառուցենք նաև EA և EB հատվածները։ AD-ին զուգահեռ՝ E կետով տանենք EF հատվածը [Պնդում 1․31]։ CE-ին զուգահեռ՝ FD-ն՝ D կետով [Պնդում 1․3]։ Եվ քանի որ EF-ն հատվում է EC և FD զուգահեռ հատվածների հետ, CEF և EFD ներքին անկյունները հավասար են ուղիղ անկյունների [Պնդում 1․29]։ Հետևաբար, FEB և EFD անկյուննեը փոքր են երկու ուղիղ անկյուններից։ Եվ երկու ներքին անկյուններից (որոնց գումարը ավելի փոքր է քան երկու ուղիղ անկյունների գումար) առաջացած հատվածները հատվում էն [Կանխադրույթ 1.5]։ Հետևաբար, B-ի և D-ի ուղղություններով կառուցված EB և FD հատվածները կհատվեն։ Կռուցենք դրանք, որպես հատման կետ նշանակնեք G-ն և միացնենք AG-ն։ Քանի որ AC-ն և CE-ն հավասար են, EAC և AEC անկյունները նույնպես հավասար են [Կանխադրույթ 1.5]։ Անկյուն C-ն ուղիղ անկյուն է։ Հետևում է, որ EAC-ն ու AEC-ը ուղիղ անկյան կեսեր են [Պնդում 1․32]։ Նույն պատճառներով՝ CEB-ն ու EBC-ն նույնպես ուղիղ անկյան կեսեր են։ Ստացվում է, որ AEB-ն ուղիղ անկյուն է։ Եվ քանի որ EBC-ն ուղիղ անկյան կես է, DBG-ն նույնպես ուղիղ անկյան կես է [Պնդում 1․15]։ BDG-ն նունպես ուղիղ անկյուն է, որը հավասար է DCE-ին։ Այսինքն դրանք համարժեք/այլընտրանքային անկյուններ են [Պնդում 1․29]։ Հետևաբար, մնացյալ DGB-ն ուղիղ անկյան կես է։ DGB-ն ու DGB-ն հավասար են։ BD-ն էլ հավասար է GD-ին [Պնդում 1․6]։ Կրկին, քանի որ EGF-ն ուղիղ անկյան կես է, իսկ F-ը՝ ուղիղ անկյուն, այն հավասար է հակառակ C անկյանը[Պնդում 1․34], մնացյալ FEG անկյունն էլ կրկին ուղիղ անկյան կես է։ Հետևում է, որ EGF և FEG անկյունները հավասար են։ GF կողմն էլ հավասար է EF-ին [Պնդում 1․6]։ Եվ քանի որ EC-ն ու CA-ն հավասար են, EC և CA հիմքերով քառակուսիները նույնպես հավասար են։ Ստացվում է, որ EC և CA հիմքերով քառակուսիների գումարը CA հիմքով քառակուսու կրկնապատիկն է։ EA հիմքով քառակուսին էլ հավասար է EC և CA հիմքերով քառակուսինորի գումարին [Պնդում 1․47]։ Հետևաբար, EA հիմքով քառակուսին AC հիմքովի կրկնապատիկն է։ Կրկին, քանի որ FG-ն ու EF-ն հավասար են, FG և FE հիմքերով քառակուսիները նույնպես հավասար են։ Ստացվում է, որ GF-ի և FE-ի վրա կառուցված քառակուսիները EF հիքով քառակուսու կրկնապատիկն են։ EG հիմքով քառակուսին էլ GF և FE հիմքերով քառակուսիների գումարի կրկնապատիկն է [Պնդում 1․47]։ Հետևաբար, EG հիմքով քառակուսին EF հիմքովի կրկնապատիկն է։ EF-ն էլ հավասար է CD-ին [Պնդում 1․34]։ EG հիմքով քառակուսին CD հիմքովի կրկնապատիկն է։ Սակայն ցույց էր տրվել նաև, որ EA-ի վրա կառուցված քառակուսին AC-ի վրա կառուցվածի կրկնապատիկն է։ Արդյունքում՝ AE և EC հիմքերով քառակուսիների գումարը AC և DC հիմքերով քառակուսիների գումարի կրկնապատիկն է։ AG, AE և EG հիմքերով քառակուսիներն էլ հավասար են [Պնդում 1․47]։ AG-ի վրա կառուցված քառակուսին AC և CD հիմքերով քառակուսիների գումարի կրկնապատիկն է։ AD և DG հիմքերով քառակուսիների գումարն էլ հավասար է AG հիմքով քառակուսուն [Պնդում 1․47]։ Հետևաբար, AD և DG հիմքերով քառակուսիների գումարը AC և CD հիմքերով քառակուսիների գումարին հավասար։ DG- հավասար է DB-ին։ Հետրաբար, AD և DB հիմքերով քառակուսիների գումարը AC և CD հմքերով քառակուսիների գումարի կրկնապատիկն է։

== Պնդում 11<ref>Այս պնդումը հետևյալ հանրահաշվական նույնության երկրաչափական տարբերակն է՝ <math> (2\cdot a + b)^2 + b^2 = 2 \cdot [a^2 + (a+b)^2] </math>:</ref> ==