Changes
/* Պնդում 91 */
Թող EH, FI և GK գծված լինեն E, F և G կետերով համապատասխանաբար ու զուգահեռ AC-ին: Եվ քանի որ AF-ը համաչափ է (երկարությամբ) FG-ի հետ, ապա AG-ն նույնպես համաչափ է AF-ի և FG-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.15]: Բայց AG-ն նաև համաչափ է (երկարությամբ) AC-ի հետ: Այսպիսով, AF-ը և FG-ը նույնպես համաչափ են AC-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.12]: Եվ AC-ը ռացիոնալ (ուղղահայաց-գիծ) է, հետևաբար, AF և FG-ը նույնպես ռացիոնալ (ուղղահայաց-գծեր) են: Ուստի, AI և FK-ը նույնպես ռացիոնալ մակերեսներ են։[Տե՛ս «Տարրեր» 10.19]: Եվ քանի որ DE-ն համաչափ է EG-ի հետ, ապա DG-ն նույնպես համաչափ է DE-ի և EG-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.15]:
Սակայն, DG-ն ռացիոնալ է, բայց անհամաչափ է (երկարությամբ) AC-ի հետ: DE-ն և EG-ն, հետևաբար, յուրաքանչյուրը նույնպես ռացիոնալ են, և անհամաչափ AC-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.13]: Ուստի, DH և EK-ը յուրաքանչյուրը ռացիոնալ մակերեսներ են [Տե՛ս «Տարրեր» 10.21].
Նշանակենք LM քառակուսին, որի մակերեսը հավասար է AI մակերեսին: Եվ թող NO քառակուսին, որը հավասար է FK մակերեսին, հանված լինի LM քառակուսուց, պահպանելով իրենց ընդհանուր անկյունը LPM-ն: Այսպիսով, LM և NO քառակուսիները գտնվում են նույն անկյունագծի վրա [Տե՛ս «Տարրեր» 6.26]: Կառուցվենք պատկերի մնացած մասը, որտեղ PR-ն լինի դրանց ընդհանուր անկյունագիծը: Ուստի, քանի որ AF-ի և FG-ի կողմից պարփակված ուղղանկյունը հավասար է EG-ի վրա կառուցված քառակուսուն, ապա ինչպես AF-ն է EG-ի նկատմամբ, այնպես էլ EG-ը՝ FG-ի [Տե՛ս «Տարրեր» 6.17]: Բայց ինչպես AF-ը՝ EG-ի նկատմամբ, այնպես էլ AI-ը՝ EK-ի, և ինչպես EG-ը՝ FG-ի, այնպես էլ EK-ը՝ KF-ի [Տե՛ս «Տարրեր» 6.1]: Ուստի, EK-ն AI-ի և KF-ի միջին համեմատականն է [Տե՛ս «Տարրեր» 5.11]: Եվ MN-ն նույնպես LM-ի և NO-ի միջին համեմատականն է, ինչպես ցույց է տրվել ավելի վաղ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.53]: Եվ քանի որ AI-ը հավասար է LM քառակուսուն, իսկ KF-ը՝ NO քառակուսուն, ապա MN-ն նույնպես հավասար է EK-ին: Բայց EK-ն հավասար է DH-ին, իսկ MN-ն՝ LO-ին [Տե՛ս «Տարրեր» 1.43]: Ուստի, DK-ն հավասար է UVW պրոեկցիային և NO-ին: Եվ AK-ն նույնպես հավասար է LM և NO քառակուսիների գումարին: Ուստի, մնացորդը՝ AB-ն, հավասար է ST-ին: Իսկ ST-ն LN-ի վրա կառուցված քառակուսին է: Ուստի, LN-ի վրա կառուցված քառակուսին հավասար է AB մակերեսին: Այսպիսով, LN-ն AB մակերեսի քառակուսի արմատն է:
Ուստի, LN-ն ապոտոմ է:
Քանի որ AI և FK մակերեսները ռացիոնալ են, և հավասար են LM և NO մակերեսներին համապատասխանաբար, ապա LM և NO մակերեսները, այսինքն՝ LP և PN հատվածների վրա կառուցված քառակուսիները նույնպես ռացիոնալ են: Ուստի, LP և PN հատվածներն էլ ռացիոնալ ուղիղ գծեր են:
Կրկին, քանի որ DH մակերեսը մեդիալ է և հավասար է LO-ին, ապա LO-ն նույնպես մեդիալ մակերես է: Հետևաբար, քանի որ LO-ն մեդիալ է, իսկ NO-ն ռացիոնալ, հետևաբար LO-ն և NO-ն միմյանց երկարությամբ անհամաչափ են: Եվ ինչպես LO-ն NO-ի նկատմամբ է, այնպես էլ LP-ն PN-ի նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 6.1]: Ուստի, LP-ն և PN-ն միմյանց երկարությամբ անհամաչափ են [Տե՛ս «Տարրեր» 10.11]: Եվ նրանք երկուսն էլ ռացիոնալ ուղիղ գծեր են:
Այսպիսով, LP և PN հատվածները ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափ են միայն քառակուսիներով: Ուստի, LN-ն ապոտոմ է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.73]: Եվ LN-ն AB մակերեսի քառակուսի արմատն է: Ուստի, AB մակերեսի քառակուսի արմատը ապոտոմ է:
Ուստի, եթե մակերեսը բաղկացած է ռացիոնալ ուղիղ գծից և առաջին ապոտոմեից, ապա այդ մակերեսի քառակուսի արմատը նույնպես ապոտոմե է:
