Changes
Քանի որ AI և FK մակերեսները ռացիոնալ են, և հավասար են LM և NO մակերեսներին համապատասխանաբար, ապա LM և NO մակերեսները, այսինքն՝ LP և PN հատվածների վրա կառուցված քառակուսիները նույնպես ռացիոնալ են: Ուստի, LP և PN հատվածներն էլ ռացիոնալ ուղիղ գծեր են:
Կրկին, քանի որ DH մակերեսը մեդիալ է և հավասար է LO-ին, ապա LO-ն նույնպես մեդիալ մակերես է: Հետևաբար, քանի որ LO-ն մեդիալ է, իսկ NO-ն ռացիոնալ, հետևաբար LO-ն և NO-ն միմյանց երկարությամբ անհամաչափ են: Եվ ինչպես LO-ն NO-ի նկատմամբ է, այնպես էլ LP-ն PN-ի նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 6.1]: Ուստի, LP-ն և PN-ն միմյանց երկարությամբ անհամաչափ են [Տե՛ս «Տարրեր» 10.11]: Եվ նրանք երկուսն էլ ռացիոնալ ուղիղ գծեր են:
Այսպիսով, LP և PN հատվածները ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափ են միայն քառակուսիներով: Ուստի, LN-ն ապոտոմ է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.73]: Եվ LN-ն AB մակերեսի քառակուսի արմատն է: Ուստի, AB մակերեսի քառակուսի արմատը ապոտոմ է:
Հետևաբար, AB մակերեսի քառակուսային արմատը մեդիալ (ուղիղ գծի) երկրորդ ապոտոմն է։ Եվ դա հենց այն է, ինչը պահանջվում էր ապացուցել։
==Պնդում 94==
Եթե մի մակերես սահմանվում է ռացիոնալ (ուղիղ գծով) և չորրորդ ապոտոմենով, ապա այդ մակերեսի քառակուսի արմատը կլինի երկրորդական (ուղիղ գիծ): Թող AB մակերեսը սահմանված լինի ռացիոնալ (ուղիղ գծով) AC-ով և չորրորդ ապոտոմենով AD-ով։ Ասում եմ, որ AB մակերեսի քառակուսի արմատը երկրորդական (ուղիղ գիծ) է։ Թող DG-ն լինի AD ուղիղ գծի կցորդը ։ Այսպիսով, AG և DG ուղիղ գծերը ռացիոնալ են և համաչափելի են միայն քառակուսով [Տե՛ս «Տարրեր», 10.73], իսկ AG-ն երկարությամբ համաչափելի է նախապես տրված ռացիոնալ AC ուղիղ գծին։ Ամբողջ AG ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է DG կցորդի վրա կառուցված քառակուսուց՝ այնպիսի ուղիղ գծի քառակուսով, որը երկարությամբ անհամաչափելի է AG-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.14]։
Ուստի, քանի որ AG-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է GD-ի վրա կառուցված քառակուսուց՝ այնպիսի ուղիղ գծի քառակուսով, որը երկարությամբ անհամաչափելի է AG-ի հետ, հետևաբար, եթե AG-ի վրա կրառվի մակերես որը հավասար է DG-ի վրա կառուցված քառակուսու չորրորդ մասին, և պակասի քառակուսի չափով, ապա այն բաժանում է AG-ն երկարությամբ անհամաչափելի մասերի[Տե՛ս «Տարրեր», 10.18]։
Թող կետ E-ն կիսի DG-ն։ Եվ թող AG-ի վրա կիրառվի այնպիսի մակերես, որը հավասար է EG-ի վրա կառուցված քառակուսուն։ Թող այդ մակերեսը լինի AF և FG ուղիղ գծերով սահմանված ուղղանկյունը։ Այսպիսով, AF-ն երկարությամբ անհամաչափելի է FG-ի հետ։
Թող E, F և G կետերից անցնող EH, FI և GK ուղիղ գծերը քաշված լինեն՝ զուգահեռ AC և BD ուղիղ գծերին։ Քանի որ AG-ն ռացիոնալ է և երկարությամբ համաչափելի է AC-ի հետ, ամբողջ AK մակերեսն այսպիսով նույնպես ռացիոնալ է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.19]։
Կրկին, քանի որ DG-ն երկարությամբ անհամաչափելի է AC-ի հետ և երկուսն էլ ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, DK մակերեսը մեդիալ է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.21]։ Ու կրկին, քանի որ AF-ն երկարությամբ անհամաչափելի է FG-ի հետ, ապա AI-ն նույնպես անհամաչափելի է FK-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 6.1, 10.11]։
Թող կառուցվի LM քառակուսին, որը հավասար է AI-ին։ Թող նաև NO մակերեսը, որը հավասար է FK-ին և նույն անկյուն LPM-ի ներքո է, հանվի LM-ից։ Այսպիսով, LM և NO քառակուսիները տեղադրված են ընդհանուր անկյունագծի վրա [Տե՛ս «Տարրեր», 6.26]։ Թող PR-ը լինի դրանց ընդհանուր անկյունագիծը, կկառուցվի ամբողջ պատկեր։
Քանի որ AF և FG ուղիղ գծերի սահմանած ուղղանկյունը հավասար է EG-ի վրա կառուցված քառակուսուն, ապա, ինչպես AF-ը EG-ին է հարաբերում, այնպես էլ EG-ը՝ FG-ին [Տե՛ս «Տարրեր», 6.17]։ Բայց, ինչպես AF-ը EG-ին է հարաբերում, այնպես էլ AI-ն՝ EK-ին է, և ինչպես EG-ը FG-ին, այնպես էլ EK՝ FK-ին է [Տե՛ս «Տարրեր», 6.1]։
Այսպիսով, EK-ն AI-ի և FK-ի միջին համեմատականն է [Տե՛ս «Տարրեր», 5.11]։ MN-ն նույնպես LM և NO քառակուսիների միջին համեմատականն է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.13, լեմմա], իսկ AI-ն հավասար է LM-ին, և FK-ն՝ NO-ին։ Ուստի, EK-ն նույնպես հավասար է MN-ին։
Նաև DH-ն հավասար է EK-ին, իսկ LO-ն՝ MN-ին [Տե՛ս «Տարրեր», 1.43]։ Ուստի,ամբողջ DK-ն հավասար է UVW գնոմոնին և NO-ին։ Քանի որ AK-ն հավասար է LM և NO քառակուսիների գումարին, DK-ն հավասար է UVW գնոմոնին և NO քառակուսուն, ուստի մնացորդ AB-ն հավասար է ST-ին, այսինքն՝ LN-ի վրա կառուցված քառակուսուն։
Ուստի, LN-ը AB մակերեսի քառակուսի արմատն է։ Այսպիսով, LN-ն իռացիոնալ ուղիղ գիծ է, որը կոչվում է երկրորդական։
