Changes

Եթե հնարավոր է, Դիցուք, CD-ն չլինի A-ի մաս: Եվ եթե EF-ն իսկապես այն նույն մասերն ունի B-ի, որոնք CD-ն ունի A-ի մասերից, ապա այն հնարավոր է։ Ինչքան որ մասեր կան CD-ում, նույնքան մասեր կան EF-ում՝ B-ի մասերից։ Let CD բաժանվի A-ի մասերի՝ CG և GD, իսկ EF բաժանվի B-ի մասերի՝ EH և HF։ Եվ այդ դեպքում, CG և GD բաժանումների թվաքանակը հավասար կլինի EH և HF բաժանումների թվաքանակին։ Եվ քանի որ CG և GD թվերը հավասար են միմյանց, նույնպես EH և HF թվերը հավասար են միմյանց, և հարաբերությունը CG-ի և EH-ի միջև նույնն է, ինչ հարաբերությունը GD-ի և HF-ի միջև։ Հետևաբար, ինչպես CG-ն է հարաբերակցվում EH-ի հետ, այնպես էլ GD-ն է հարաբերակցվում HF-ի հետ։ Դրանից հետո, որպես հետևանք, ինչպես յուրաքանչյուր առաջատար մաս՝ ΓΗ միանում է հետագային ΕΘ, այնպես էլ այն մագլցած մասերը ΓΔ և ΕΖ՝ նույն հարաբերությամբ՝ լինում են համարժեք։

== Պնդում 21 ==

Այսպիսով, D-ն և E-ն ունեն նույն հարաբերակցությունը, ինչ A-ն և B-ն, բայց լինելով ավելի փոքր։ Սա անհնար է։

Ուստի, ոչ մի թիվ չի բաժանում A-ն և B-ն։ Այսպիսով, A-ն և B-ն փոխադարձաբար պարզ են։ Թեորեմն ապացուցված է:

== Պնդում 23 ==

Ուստի E-ն բաժանում է B-ն և C-ն, որոնք փոխադարձաբար պարզ են։ Սա անհնար է։

Ուստի, ոչ մի թիվ չի կարող բաժանել C-ն և D-ն։ Այսպիսով, C-ն և D-ն փոխադարձաբար պարզ են։ Սա է այն, ինչ պետք էր ցույց տալ։

== Պնդում 25 ==

== Պնդում 31 ==

Ամեն բաղադրյալ թիվը չափվում է ինչ-որ պարզ թվով:

== Պնդում 32 ==

Ամեն թիվ կամ պարզ է, կամ չափվում է ինչ-որ պարզ թվով

== Պնդում 33 ==

Թող A, B, և C լինեն ցանկացած տրված թվեր: Պետք է գտնենք նրանցից ամենափոքրին, որոնք ունեն նույն հարաբերակցությունը՝ ինչպես A, B, և C:

Իրականում, եթե A, B և C իրար հետ պարզ են, ապա նրանք կլինեն ամենափոքրն այն թվերից, որոնք ունեն նույն հարաբերակցությունը՝ ինչպես տրված թվերն են:

Այդպիսով, E, F և G չափում են A, B և C ըստ նույն հարաբերակցությամբ: Ուստի, E, F և G ունեն նույն հարաբերակցությունը՝ ինչպես A, B և C:

Եթե E, F և G չեն ամենափոքր թվերը, որոնք ունեն նույն հարաբերակցությունը՝ ինչպես A, B և C, ապա կլինեն այլ թվեր, որոնք փոքր կլինեն E, F և G և կկարողանան լինել նույն հարաբերակցությամբ՝ ինչպես A, B և C: Ներկայացնենք այդ թվերը՝ H, K, L:

Ուստի, H չափում է A, ինչպես K և L՝ B և C: Այնուհետև, քանի որ H չափում է A, M նույնպես կչափի A, ինչպես K և L՝ B և C:

Եվ քանի որ H չափում է A, M նույնպես չափելու է B և C՝ ըստ նույն միավորների: Եվ քանի որ H չափում է A՝ ըստ M-ի միավորների, այնուհետև M նաև կչափի B և C՝ ըստ K և L-ի միավորների:

Այդպիսով, M չափում է A, B և C: Բայց այս հնարավորությունը անհնար է, քանի որ D՝ A, B և C թվերի առավելագույն ընդհանուր չափն է: Ուստի, հնարավոր չէ որևէ թիվ, որը փոքր է E, F և G և ունի նույն հարաբերակցությունը՝ ինչպես A, B և C:

Այսպիսով, E, F և G կլինեն ամենափոքրը՝ այն թվերից, որոնք ունեն նույն հարաբերակցությունը՝ ինչպես A, B և C: Դա այն է, ինչ պետք էր ապացուցել:

Դիցուք A և B թվերը տրված են։ Պետք է գտնենք այն ամենափոքր թիվը, որը կչափեն երկու տրված թվերը:

Դիցուք, A և B լինի միմյանցից անկախ թվեր են:թող A C ստանա՝ բազմապատկելով B: Այսպիսով, B նույնպես C ստացրեց՝ բազմապատկելով A Այսպիսով, A և B երկուսն էլ չափում են C:

Ես ասում եմ, որ C-ն նույնպես ամենափոքրն է թիվ, որը նրանք երկուսն էլ չափում են: Եթե ոչ, A և B երկուսն էլ կչափեն մի այլ թիվ, որը ավելի փոքր է, քան C: Թող նրանք երկուսն էլ հավասար լինեն D (որը ավելի փոքր է քան C):

Եվ որքան անգամ A հարաբերում է D, նույնքան միավորներ թող լինեն E-ում: Եվ որքան անգամ B հարաբերում է D, նույնքան միավորներ թող լինեն F-ում: Այսպիսով, A ստացրեց D՝ բազմապատկելով E, իսկ B ստացրեց D՝ բազմապատկելով F: Այսպիսով, A և E-ից ստացված թիվը հավասար է B և F-ից ստացված թվին: Այսպիսով, ինչպես A-ն է B-ին, այնպես էլ F-ն է E-ին:

Եվ քանի որ A և B-ն անկախ են միմյանցից, իսկ անկախ թվերը ամենափոքրն են (այսինքն՝ այդ նույն հարաբերությունը ունեցող թվերը), ապա ավելի մեծը չափում է ավելի մեծը, իսկ փոքրն՝ ավելի փոքրին: Այսպիսով, B-ն չափում է E, ինչպես հետևյալ (համարների չափման) միջոցով:

Եվ քանի որ A-ը ստացավ C և D՝ բազմապատկելով B և E համապատասխանաբար, ապա ինչպես B-ն է E-ին, այնպես էլ C-ն է D-ին : Եվ B-ն չափում է E: Այսպիսով, C-ն նույնպես չափում է D, ավելի մեծը՝ չափելով ավելի փոքրին: Հետևաբար, դա անհնար է: Այսպիսով, A և B-ն չեն չափում մի թիվ, որը ավելի փոքր է քան C: Հետևաբար, C-ն այն ամենափոքր թիվն է, որը չափում են A-ն և B-ն:

Այնպես որ, A-ի և E-ի բազմապատկմամբ ստացված թիվը հավասար է B-ի և F-ի բազմապատկմամբ ստացված թվին [Prop. 7.19]: Եվ թող A-ը ստանա C՝ բազմապատկելով E: Այսպիսով, B-ն նույնպես ստանում է C՝ բազմապատկելով F: Ուրեմն,, A և B երկուսն էլ հարաբերում են C:

Ես ասում եմ, որ C-ն նույնպես ամենափոքրն է (թիվը, որը նրանք երկուսն էլ հարաբերում են): Եթե ոչ, A և B երկուսն էլ կհարաբերեն մի թիվ, որը ավելի փոքր է, քան C: Թող նրանք երկուսն էլ հարաբերեն D (որը ավելի փոքր է, քան C):

Եվ որքան անգամ A հարաբերում է D, նույնքան միավորներ թող լինեն G-ում: Եվ որքան անգամ B հարաբերում է D, նույնքան միավորներ թող լինեն H-ում: Այսպիսով, A ստացրեց D՝ բազմապատկելով G, իսկ B ստացրեց D՝ բազմապատկելով H: Այսպիսով, ինչպես A-ն է B-ին, այնպես էլ H-ն է G-ին [Prop. 7.19]:

Եվ քանի որ A-ը ստացավ C և D՝ բազմապատկելով E և G համապատասխանաբար, ապա ինչպես E-ն է G-ին, այնպես էլ C-ն է D-ին [Prop. 7.17]: Եվ E-ն հարաբերում է G: Այսպիսով, C-ն նույնպես հարաբերում է D՝ մեծը հարաբերում է փոքրին: Դա անհնար է: Այսպիսով, A և B չեն հարաբերում մի թիվ, որը ավելի փոքր է, քան C: Հետևաբար, C-ն այն ամենափոքր թիվն է, որը հարաբերում են A-ն և B-ն: Սա հենց այն է, ինչ պետք էր ցույց տալ:

== Պնդում 35 ==

«Եթէ երկու թվերին հարաբերեն ինչ-որ թիվ, ապա դրանցից ամենափոքրը, որն իրենով հարաբերում է այդ թիվը, նույնպես կհարաբերի նույն թվին:

Եվ այո, Դիցուք, A և B, հարաբերում են ինչ-որ թիվ CD, և թող E լինի ամենափոքրը, որն հարաբերում է ինչպես A-ն, այնպես էլ B-ն: Ես ասում եմ, որ E նույնպես հարաբերում է CD:

Եթե E չի հարաբերում CD, թող E թողնի CF, որը փոքր է իրենից (հարաբերելով DF): Եվ քանի որ A-ն և B-ն հարաբերում են E-ին, իսկ E-ն հարաբերում է DF, ապա A-ն և B-ն նույնպես կհարաբերեն DF: Եվ (A-ն և B-ն) նույնպես հարաբերում են ամբողջ CD-ն: Այնպես որ, նրանք նույնպես կհարաբերեն մնացորդը՝ ΓΔ, որը փոքր է E-ից: Ինչպես տեսնում ենք, դա անհնար է: Այնպես որ, E չի կարող չհարաբերում CD-ին: Նշանակում է, որ (E) հարաբերում է CD: Այդ ամենը հենց այն է, ինչ պետք էր ապացուցել:

== Պնդում 36 ==

Այսպես, A, B և C երեք տրված թվեր են։ Պետք է գտնել այն ամենափոքր թիվը, որը հարաբերում է նրանց բոլորին:

Դիցուք A, B և C թվեր են, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի որոշակի հարաբերություն։ Պետք է գտնել այն ամենափոքր թիվը, որը հարաբերում է բոլոր երեք թվերին։

Եկեք ընդունենք, որ A և B ի համար այդ թիվը՝ Dն է ։ Եվ եթե C-ն հարաբերում է D-ին, ապա այն կլինի փաստը թր ուզում էինք ապացուցել։ Եթե ոչ, ապա A, B և C պետք է որոշեն E-ը, որը կլինի ամենափոքր թիվը, որը հարաբերում է D-ին։

Դիցուք A թիվը չափվում է B թվով։ Ես ասում եմ, որ A-ն ունի մաս, որը կոչվում է նույն անունով, ինչ B-ն։ Քանի անգամ B-ն հարաբերում է A-ին, այդքան շատ միավորներ լինեն C-ում։ Քանի որ B-ն չափում է A-ն ըստ C-ի միավորների, և D միավորը նույնպես չափում է C թիվը ըստ նրա մեջ եղած միավորների, ապա D միավորը այնքան անգամ կչափի C թիվը, որքան B-ն՝ A-ն։ Հետևաբար, D միավորը չափում է B թիվը, ինչպես C-ն՝ A-ն։ Եվ այսպես, ամեն մի մասնաբառ, որը D միավորը B թվի մաս է, նույն անունով մասն է նաև C-ի A թվի համար։ Հետևաբար, A-ն ունի C մասը, որը կոչվում է նույն անունով, ինչ B-ն։ Դա հենց այն է, ինչ պետք էր ապացուցել։

Եթե թիվը բաժանվում է որոշակի մասերի (մասնիկների), ապա այդ մասերից յուրաքանչյուրն ունի համապատասխան թվային նշանակություն, որը կոչվում է այդ մասի անվանումը