Changes
L-ից, ապա H-ը նույնպես փոքր է M-ից [Պնդում 5.5]: Կրկին, Քանի որ C-ն հարաբերում է D-ին ինչպես E-ն F-ին և հավասար բազմապատիկներ H և K-ն վերցված են եղել համապատասխանաբար C-ից և E-ից և ուրիշ պատահական հավասար բազմապատինկեր M և N-ը համապապատասխանաբար D-ից և F-ից, հետևաբար եթե H-ն գերազանցում է M-ին, ապա K-ը նույնպես գերազանցում է N-ին, և եթե
H-ն հավասար է M-ին, ապա K-ը նույնպես հավասար է N-ին, և եթե H-ն փոքր է
M-ից, ապա K-ը նույնպես փոքր է N-ից [Պնդում Սահմանում 5.5]: Բայց մենք նկատել էինք, որ եթե H-ը գերազանցում է M-ին, ապա G-ն նույնպես գերազանցում է L-ին, և եթե H-ը հավասար է M-ին, ապա G-ն նույնպես հավասար է L-ին, և եթե H-ը փոքր է M-ից, ապա G-ն նույնպես փոքր է L-ից: Եվ քանի որ եթե G-ն գերազանցում է L-ին, ապա K-ը նույնպես գերազանցում է N-ին, և եթե G-ն հավասար է L-ին, ապա K-ը նույնպես հավասար է N-ին, և եթե G-ն փոքր է L-ից, ապա K-ը նույնպես փոքր է N-ից [Պնդում Սահմանում 5.5]: Եվ G, K-ն համապատասխանաբար A-ի և E-ի հավասար բազմապատիկներ են և L, N-ը համապատասխանաբար B, F-ի ուրիշ պատահական հավասար բազմապատիկներ են։ Հետևաբար, A-ն հարաբերում է B-ին ինչպես E-ն F-ին [Պնդում Սահմանում 5.5]։
Հետևաբար, հարաբերությունները որոնք նույն են նույն հարաբերության հետ նույնպես նույնն են իրար հետ։
Թող հավասար բազմապատիկներ G, H, K-ն համապատասխանաբար վերցված լինեն A, C, E-ից և ուրիշ պատահական հավասար բազմապատիկներ L, M, N-ը համապատասխանաբար
B, D, F-ից։ Եվ քանի որ A-ն հարաբերում է B-ին ինչպես C-ն D-ին և E-ն F-ին, և հավասար բազմապատիկներ G, H, K-ն համապատասխանաբար վերցված են եղել A, C, E-ից և ուրիշ պատահական հավասար բազմապատիկներ L, M, N-ը համապատասխանաբար
B, D, F-ից, ապա եթե G-ն գերազանցում է L-ին, ապա H-ը նույնպես գերազանցում է M-ին և K-ն գերազանցում է N-ին, և եթե G-ն հավասար է L-ին, ապա H-ը նույնպես հավասար է M-ին, և K-ն հավասար է N-ին, և եթե G-ն փոքր է L-ից, ապա H-ը նույնպես փոքր է M-ից և K-ն փոքր է N-ից [Պնդում Սահմանում 5.5]: Հետևաբար, եթե
G-ն գերազանցում է L-ին, ապա G, H, K-ն նույնպես գերազանցում են L, M, N-ին,
և եթե G-ն հավասար է L-ին, ապա G, H, K-ն նույնպես հավասար են L, M, N-ին,
== Պնդում 13 ==
Եթե առաջին մեծությունը ունի նույն հարաբերությունը երկրորդին ինչպիսին ունի երրորդը չորրորդին և երրորդ մեծությունը ունի ավելի մեծ հարաբերություն չորրորդին քան հինգերորրդը վեցերորդին, ապա առաջին մեծությունը կունենա ավելի մեծ հարաբերություն երկրորդին քան հինգերորդը վեցերորդին։
screenshot # 13
Թող առաջին մեծությունը A-ն ունենեա նույն հարաբերությունը երկրորդ B-ին ինչպիսին ունի երրորդ C-ն չորրորդ D-ին և թող երրորդ մեծություն C-ն ունենա ավելի մեծ հարաբերություն չորրորդ D-ին քան հինգերորրդ E-ն ունի վեցերորդ
F-ին։ Ես ասում եմ որ, առաջին մեծություն A-ն կունենա ավելի մեծ հարաբերություն երկրորդ B-ին քան հինգերորդ E-ն վեցերորդ F-ին։
Քանի որ կան C-ի և E-ի հավասար բազմապատիկներ, և ուրիշ պատահական D-ի և F-ի հավասար բազմապատիկներ, որոնց համար C-ի բազմապատիկը չի գերազանցում D-ի բազմապատիկը և E-ի բազմապատիկը չի գերազանցում F-ինը [Պնդում 5.7], թող նրանք վերցված լինեն։ Եվ թող G, H-ը լինեն համապատասխանաբար
C, E-ի հավասար բազմապատիկներ և K, L-ը համապատասխանաբար D և F-ի ուրիշ պատահական հավասար բազմապատիկներ են, այնպես որ G-ն գերազանցում K-ին, բայց H-ը չի գերազանցում Լ-ին։ Եվ այնքան անգամ ինչքան G-ն բաժանվում է C-ին այնքան անգամ էլ M-ը բաժանվում է A-ին։ Եվ այնքան անգամ ինչքան K-ն բաժանվում է D-ին այնքան անգամ էլ թող N-ը բաժանվի է B-ին։
Քանի որ A-ն հարաբերում է B-ին այնքան ինչքան C-ն Դ-ին և M, G հավասար բազմապատիկները վերցված են եղել համապատասխանաբար A-ից և C-ից և ուրիշ հավասար բազմապատիկները N և K-ն համապատասխանաբար B-ից և D-ից, հետևաբար եթե M-ը գերազանցում է N-ին, ապա G-ն նույնպես գերազանցում է K-ին, և եթե
M-ը հավասար է N-ին, ապա G-ն նույնպես հավասար է K-ին, և եթե M-ը փոքր է
N-ից, ապա G-ն նույնպես փոքր է K-ից [Սահմանում 5.5]: Եվ G-ն գերազանցում է
K-ին։ Հետևաբար M-ը նույպես գերազանցում է N-ին։ Եվ M-ն ու H-ը համապատասխանաբար A-ի և E-ի հավասար բազմապատիկներ են ու N-ը ու L-ը համապատասխանաբար B-ի և F-ի ուրիշ հավասար բազմապատիկներ են։ Հետևաբար, A-ն ունի ավելի մեծ հարաբերություն B-ին քան E-ն F-ին [Սահմանում 5.7] ։
Այսպիսով եթե առաջին մեծությունն ունի նույն հարաբերությունը երկրորդին ինչպիսին ունի երրորդը չորրորդին և երրորդ մեծությունը ունի ավելի մեծ հարաբերություն չորրորդին քան հինգերորրդը վեցերորդին, ապա առաջին մեծությունը կունենա ավելի մեծ հարաբերություն երկրորդին քան հինգերորդը վեցերորդին։ Ինչը պետք էր ցույց տալ:
