Changes

== pages 129Թող A-130 ==  Սահմանումներ 1. Մեծությունը համարվում ն հարաբերի B-ին ինչպես C-ն D-ին և C-ն հարաբերում է մեկ այլ մեծության մաս՝ փոքրը մեծի, երբ այն չափում D-ին ինչպես E-ն F-ին։ Ես ասում եմ որ A-ն հարաբերում է մեծը։ B-ին ինչպես E-ն F-ին։2. Եվ մեծը համարվում է փոքրի բազմապատիկԹող հավասար բազմապատիկներ G, երբ այն չափվում է փոքրով։ 3. Հարաբերությունը որոշակի պայման էH, որը վերաբերում է երկու նույն տեսակի մեծությունների մեծության։ K-ն համապատասխանաբար վերցված լինեն A, C, E-ից և ուրիշ պատահական հավասար բազմապատիկներ L, M, N-ը համապատասխանաբար 4. (Այն) մեծություններն ունեն հարաբերություն միմյանց նկատմամբB, որոնք, բազմապատկվելովD, F-ից։կարող Քանի որ A-ն հարաբերում է B-ին ինչպես C-ն D-ին և հավասար բազմապատիկներ G-ն և H-ը վերցված են գերազանցել մեկը մյուսին։ 5. Մեծությունները համարվում են նույն հարաբերության մեջ՝ առաջինը երկրորդի հետ, եղել համապատասխանաբար A-ից և երրորդը՝ չորրորդիC-ից և ուրիշ պատահական հավասար բազմապատինկեր L և M-ը համապապատասխանաբար B-ից և D-ից, հետևաբար եթե G-ն գերազանցում է L-ին, ապա H-ը նույնպես գերազանցում է M-ին, երբ առաջինի և երրորդի եթե G-ն հավասար բազմապատիկները կամ երկուսն էլ գերազանցում ենէ L-ին, կամ ապա H-ը նույնպես հավասար ենէ M-ին, կամ և եթե G-ն փոքր են է երկրորդի L-ից, ապա H-ը նույնպես փոքր է M-ից [Պնդում 5.5]: Կրկին, Քանի որ C-ն հարաբերում է D-ին ինչպես E-ն F-ին և չորրորդի հավասար բազմապատիկներից՝ բազմապատիկներ H և K-ն վերցված համապատասխան կարգով են եղել համապատասխանաբար C-ից և ցանկացած բազմապատկման եղանակով։ 6. Եվ թող այն մեծություններըE-ից և ուրիշ պատահական հավասար բազմապատինկեր M և N-ը համապապատասխանաբար D-ից և F-ից, որոնք ունեն նույն հարաբերությունըհետևաբար եթե H-ն գերազանցում է M-ին, կոչվեն համաչափ։ ապա K-ը նույնպես գերազանցում է N-ին, և եթե 7. Եվ երբ H-ն հավասար բազմապատիկների դեպքում (ինչպես Սահման․ 5է M-ում)ին, առաջինի բազմապատիկը գերազանցում ապա K-ը նույնպես հավասար է երկրորդի բազմապատիկինN-ին, իսկ երրորդի բազմապատիկը չի և եթե H-ն փոքր է M-ից, ապա K-ը նույնպես փոքր է N-ից [Պնդում 5.5]: Բայց մենք նկատել էինք, որ եթե H-ը գերազանցում չորրորդի բազմապատիկինէ M-ին, ապա առաջինն ունի մեծ հարաբերություն երկրորդի նկատմամբG-ն նույնպես գերազանցում է L-ին, քան երրորդը՝ չորրորդի։ և եթե 8. Եվ երեք անդամներում հարաբերությունը նվազագույնն է։ 9. Եվ երբ երեք մեծությունները համաչափ ենH-ը հավասար է M-ին, առաջինը հարաբերում ապա G-ն նույնպես հավասար է երրորդին այն հարաբերության քառակուսովL-ին, որն (այն ունի) և եթե H-ը փոքր է երկրորդի նկատմամբ։ 10. M-ից, ապա G-ն նույնպես փոքր է L-ից: Եվ երբ չորս մեծություններ (հաջորդաբար) քանի որ եթե G-ն գերազանցում է համաչափ ենL-ին, առաջինը հարաբերում ապա K-ը նույնպես գերազանցում է չորրորդին այն հարաբերության խորանարդովN-ին, որն (այն ունի) երկրորդի նկատմամբ և այսպես շարունակ։ 11. Այս մեծությունները համարվում են համապատասխան՝ առաջնայինը՝ առաջնայինինեթե G-ն հավասար է L-ին, իսկ հետևողը՝ հետևողին։ 12. Փոխադարձ հարաբերությունը (առաջնայինի հարաբերության) ընդունումն է դեպի առաջնային (երկու ապա K-ը նույնպես հավասար հարաբերություններից) է N-ին, և (այն հավասարեցնելը) հետևողի (հարաբերությանը) դեպի հետևող։ 13. Հակադարձ հարաբերությունը (հետևողի հարաբերության) ընդունումն եթե G-ն փոքր է որպես առաջնայինL-ից, իսկ առաջնայինի՝ որպես հետևող։ 14ապա K-ը նույնպես փոքր է N-ից [Պնդում 5. Հարաբերության համադրումը (առաջնայինի 5]: Եվ G, K-ն համապատասխանաբար A-ի և հետևողի հարաբերության) ընդունումն է՝ առաջնայինին գումարած հետևողը՝ որպես մեկըE-ի հավասար բազմապատիկներ են և L, N-ը համապատասխանաբար B, F-ի ուրիշ պատահական հավասար բազմապատիկներ են։ Հետևաբար, A-ն հարաբերում է B-ին ինչպես E-ն F-ին դեպի միայն հետևողը։ [Պնդում 5.5]։Հետևաբար, հարաբերությունները որոնք նույն են նույն հարաբերության հետ նույնպես նույնն են իրար հետ։