Այսպիսով, ինչպես AB գիծը BC գծի նկատմամբ, այնպես էլ AD գծի վրա կառուցված քառակուսին DC գծի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ են հավասար։
==Պնդում 14==
Կառուցել ութանկյուն և փակել այն տրված գնդի մեջ՝ ինչպես նախորդ պնդումներում, և ցույց տալ, որ գնդի տրամագծի քառակուսին կրկնապատիկ է ութանկյոնի կողի քառակուսուց։
Թող տրված գնդի տրամագիծը լինի AB, և այն կիսվի C կետում։ Նկարել ADB կիսամորթը AB վրա։ Նկարել CD ուղղահայաց AB-ին C-ից։ Միացնել DB։
Կառուցել EFGH քառակուսին, որի յուրաքանչյուր կողմը հավասար է DB-ին։ Միացնել HF-ը և EG-ը։ Սահմանել ուղիղ գիծ KL K-ում, ուղղահայաց դեպի EFGH քառակուսիի պլանը (Պնդում 11.12), և նկարել մեկ այլ գիծ՝ KM, որը գտնվում է պլանի մյուս կողմում։
Կտրել KL-ը և KM-ը՝ հավասարեցնելով մեկին EK-ի, FK-ի, GK-ի և HK-ի։ Միացնել LE-ը, LF-ը, LG-ը, LH-ը, ME-ը, MF-ը, MG-ը և MH-ը։
Քանի որ KE = KH և անկյունը EKH ճիշտ անկյուն է, ապա HE-ի քառակուսին կրկնապատիկ է EK-ի քառակուսուց (Պնդում 1.47)։ Նույն կերպ, քանի որ LK = KE և անկյունը LKE ճիշտ անկյուն է, ապա EL-ի քառակուսին կրկնապատիկ է EK-ի քառակուսուց (Պնդում 1.47)։ Եվ քանի որ HE-ի քառակուսին նույնպես կրկնապատիկ է EK-ի քառակուսուց, ապա LE-ի քառակուսին հավասար է EH-ի քառակուսուն։
Ուստի, LE = EH։ Նույն պատճառներով, LH = HE։ LEH եռանկյունը հավասարակողմ է։ Այսպիսով, մենք կարող ենք նույն կերպ ցույց տալ, որ մնացած բոլոր եռանկյունիները, որոնց հիմքերը EFGH քառակուսիի կողմերն են, և գագաթները L-ն ու M-ն են, հավասարակողմ են։ Այսպես, ութանկյուն, որը բաղկացած է ութ հավասարակողմ եռանկյունիներից, կառուցվել է։
Այժմ պետք է ցույց տրվի, որ այն փակվում է տրված գնդի մեջ, և որ գնդի տրամագծի քառակուսին կրկնապատիկ է ութանկյոնի կողի քառակուսուց։
Քանի որ LK = KM և KE ընդհանուր է, և նրանք պարունակում են ճիշտ անկյուններ, ապա LE-ի հիմքը հավասար է EM-ին (Պնդում 1.4)։ Եվ քանի որ անկյունը LEM ճիշտ անկյուն է՝ ըստ կիսամորթի (Պնդում 3.31), ապա LM-ի քառակուսին կրկնապատիկ է LE-ի քառակուսուց (Պնդում 1.47)։
Այնուհետև, քանի որ AC = CB, AB-ն կրկնապատիկ է BC-ի։ Եվ ինչպես AB-ը BC-ին է, այնպես էլ AB-ի քառակուսին հավասար է BD-ի քառակուսուն (Պնդում 6.8, սահման. 5.9)։ Այսպիսով, AB-ի քառակուսին կրկնապատիկ է BD-ի քառակուսուց։
Եվ LM-ի քառակուսին նույնպես ցույց տրված է, որ կրկնապատիկ է LE-ի քառակուսուց։ Եվ DB-ի քառակուսին հավասար է LE-ի քառակուսուն։ Քանի որ EH-ը հավասար է DB-ին։
Այսպիսով, AB-ի քառակուսին նույնպես հավասար է LM-ի քառակուսուն։ Այսպիսով, AB = LM։ Եվ AB-ն տրված գնդի տրամագծն է։ Ուստի, LM-ը հավասար է տրված գնդի տրամագծին։
Այսպիսով, ութանկյունը փակվել է տրված գնդի մեջ, և միաժամանակ ցույց տրված է, որ գնդի տրամագծի քառակուսին կրկնապատիկ է ութանկյոնի կողի քառակուսուց։ (Այսինքն) հենց այն, ինչ պետք էր ցույց տալ։
==Պնդում 15==
Կառուցել խորանարդ և փակել այն տրված գնդի մեջ, ինչպես պիրամիդի դեպքում, և ցույց տալ, որ գնդի տրամագծի քառակուսին երեք անգամ գերազանցում է խորանարդի կողմի քառակուսուն։
Թող տրված գնդի տրամագիծը լինի AB, և այն կիսվի C կետում այնպես, որ AC-ն երկու անգամ մեծ է քան CB-ն։ Նկարել ADB կիսամորթը AB վրա։ Նկարել CD ուղղահայաց AB-ին C-ից։ Միացնել DB։
Կառուցել EFGH քառակուսին, որի յուրաքանչյուր կողմը հավասար է DB-ին։ Նկարել EK-ը, FL-ը, GM-ը և HN-ը՝ E, F, G և H կետերից համապատասխանաբար, ուղղահայաց դեպի EFGH քառակուսիի պլանը։ Նկարել EK-ը, FL-ը, GM-ը և HN-ը՝ հավասարեցնելով EF, FG, GH և HE կողմերին, և կտրել դրանք համապատասխանաբար EK-ից, FL-ից, GM-ից և HN-ից։ Միացնել KL-ը, LM-ը, MN-ը և NK-ը։ Այսպիսով, խորանարդը, որը բաղկացած է վեց հավասար քառակուսիներից, կառուցվել է։
Այժմ պետք է այն փակվի տրված գնդի մեջ, և ցույց տրվի, որ գնդի տրամագծի քառակուսին երեք անգամ գերազանցում է խորանարդի կողմի քառակուսուն։
Թող KG և EG միացվեն։ Քանի որ անկյուն KEG-ն ճիշտ անկյուն է՝ հաշվի առնելով, որ KE-ն նաև ուղղահայաց է EG-ի պլանին և ակնհայտորեն նաև ուղղահայաց է EG ուղիղ գծին (Սահման. 11.3), ապա KG-ի վրա նկարած կիսամորթը նույնպես կանցնի E կետով։ Նույն կերպ, քանի որ GF-ն ուղղահայաց է FL և FE-ի ամեն մի մասի, GF-ն նույնպես ուղղահայաց է FK-ի պլանին (Պնդում 11.4)։ Հետևաբար, եթե մենք միացնենք FK-ը, GF-ն նույնպես կլինի ուղղահայաց FK-ի հետ։ Եվ քանի որ դա այդպես է, GK-ի վրա նկարած կիսամորթը նույնպես կանցնի F կետով։ Նույն կերպ, այն կհասնի խորանարդի մնացած անկյուններին։
Այսպիսով, եթե KG-ը մնա (ապացուցված) և կիսամորթը տեղափոխվի, ապա այն կվերադառնա սկզբնական դիրքին, և խորանարդը փակվել է տրված գնդի մեջ։ Դրանից մենք տեսնում ենք, որ այն փակված է տրված գնդի մեջ։ Քանի որ GF-ը հավասար է FE-ին, և անկյունը F-ում ճիշտ անկյուն է, ապա EG-ի քառակուսին կրկնապատիկ է EF-ի քառակուսուց (Պնդում 1.47)։ Եվ FE-ը հավասար է EK-ին։ Այսպիսով, EG-ի քառակուսին կրկնապատիկ է EK-ի քառակուսուց։
Ուստի, GE և EK քառակուսիների գումարը՝ այսինքն՝ GK-ի քառակուսին (Պնդում 1.47), երեք անգամ գերազանցում է EK-ի քառակուսուն։ Եվ քանի որ AB-ը երեք անգամ գերազանցում է BC-ին, և ինչպես AB-ը BC-ին, այնպես էլ AB-ի քառակուսին հավասար է BD-ի քառակուսուն (Պնդում 6.8, սահման. 5.9), ապա AB-ի քառակուսին երեք անգամ գերազանցում է BD-ի քառակուսին։
Եվ GK-ի քառակուսին նույնպես ցույց տրված է, որ երեք անգամ գերազանցում է KE-ի քառակուսին։ Եվ KE-ն հավասարեցված էր DB-ի հետ։ Այսպիսով, KG-ն հավասար է AB-ին։ Իսկ AB-ն տրված գնդի տրամագիծն է։ Ուստի, KG-ն հավասար է տրված գնդի տրամագծին։
Այսպիսով, խորանարդը փակվել է տրված գնդի մեջ։ Եվ միաժամանակ ցույց տրվել է, որ գնդի տրամագծի քառակուսին երեք անգամ գերազանցում է խորանարդի կողմի քառակուսուն։ (Այսինքն) հենց այն, ինչ պետք էր ցույց տալ։
==Պնդում 16==
Կառուցել իկոսահեդրոն (տասնութ նիստերով բազմանիստ է, որն ունի 20 ճիշտ եռանկյունիներ, ունի 12 գագաթներ և 30 եզրեր) և այն փակել շրջանակով, ինչպես նշված վերոնշյալ պատկերներում, և ցույց տալ, որ իկոսահեդրոնի կողմը այն իռացիոնալ ուղիղ գիծն է, որը կոչվում է փոքր:
Թող տրված շրջանակի AB տրամագիծը դրված լինի, և թող այն կիսվի C կետում այնպես, որ AC-ն լինի չորս անգամ ավելի մեծ, քան CB [Պնդում 6.10]: Եվ թող ADB կիսաշրջանը լինի AB-ում: Եվ թող CD ուղիղ գիծը նկարահանվի C-ից, որը ուղղահայաց է AB-ին: Եվ թող DB-ն միացվի: Եվ թող EFGHK շրջանը դրված լինի, և թող նրա ռադիուսը հավասար լինի DB-ի: Եվ թող հավասար և հավասար անկյուն ունեցող հնգանկյուն EFGHK լիներ նկարագրված EFGHK շրջանի մեջ [Պնդում 4.11]: Եվ թող EF, FG, GH, HK, KE շրջանների հատվածները կիսվեն L, M, N, O, P կետերում (հարգի): Եվ թող LM, MN, NO, OP, PL և EP միացվեն: Այդպես LMNOP հնգանկյունը հավասար է, և EP-ն (կողմը) է տասանկյունի (նախադրված շրջանակի մեջ): Եվ թող EQ, FR, GS, HT, KU ուղիղ գծերը, որոնք հավասար են EFGHK շրջանի ռադիուսի հետ, ուղղահայաց լինեն այդ շրջանի ինքնատիպ մակերևույթին, Ե, F, G, H և K կետերում (հարգի): Եվ թող QR, RS, ST, TU, UQ, QL, LR, RM, MS, SN, NT, TO, OU, UP, PQ միացվեն:
Եվ քանի որ EQ և KU ուղղահայաց են նույն ինքնատիպ մակերևույթին, EQ-ն պառլլել է KU-ին [Պնդում 11.6]: Եվ նրանք նույնն են: Եվ հավասար և զուգահեռ ուղիղ գծերը նույն կողմում նույնն են [Պնդում 1.33]: Այսպես, QU-ն հավասար և զուգահեռ է EK-ին: Եվ EK-ն (կողմը) է հավասար հնգանկյունի (նախադրված շրջանակի մեջ): Այսպես, QU-ն (կողմը) էլ հավասար հնգանկյունի կողմն է, որը նախադրված է EFGHK-ում: Այդպես էլ QR, RS, ST և TU նույնպես են հավասար հնգանկյունի կողմեր, որոնք նախադրված են EFGHK-ում: Հնգանկյունը QRSTU հավասար է: Եվ QE-ն (կողմը) է դասական վեցանկյունի (նախադրված շրջանակի մեջ) և EP (կողմը) է տասանկյունի, և անկյունը QEP-ն ուղղահայաց է, այնպես որ QP-ն (կողմը) է հնգանկյուն (նախադրված նույն շրջանակում): Քանի որ հնգանկյունի կողմի քառակուսին հավասար է ութանկյունի և տասանկյունի կողմերի քառակուսիների գումարով նույն շրջանակում [Պնդում 13.10]: Այսպես նույն տրամաբանությամբ PU-ն նույնպես հնգանկյունի կողմ է: Եվ QU-ն նույնպես հնգանկյունի կողմ է: Այսպես, QPU եռանկյունը հավասար է: Այսպես, նույն ձևով, (տրիանկյունները) QLR, RMS, SNT, TOU նույնպես հավասար են: Եվ քանի որ QL և QP եղել են (կողմը) հնգանկյունի կողմից, և LP-ը նույնպես հնգանկյուն է, ապա QLP եռանկյունը հավասար է: Այսպես, նույն ձևով, ԼRM, MSN, NTO, OUP երեքը հավասար են:
Թող կենտրոնը, V կետը, EFGHK շրջանի կենտրոնը գտնված լինի [Պնդում 3.1]: Եվ թող VZ ուղիղ գիծը նկարահանվի, որը ուղղահայաց է EFGHK շրջանի ինքնատիպ մակերևույթին: Եվ թող այն առաջ գնա մյուս կողմում, ինչպես VX: Եվ թող VW-ն կտրվի (XZ-ից) այնպես, որ հավասար լինի ութանկյունի կողմին, և յուրաքանչյուր VX և WZ հավասար լինեն տասանկյունի կողմին: Եվ թող QZ, QW, UZ, EV, LV, LX, և XM միացվեն:
Եվ քանի որ VW և QE-ը ուղղահայաց են նույն ինքնատիպ մակերևույթին, V W-ն, ըստ այդմ, զուգահեռ է QE-ին [Պնդում 11.6]: Եվ նրանք նույնպես հավասար են: EV-ն և QW-ն ըստ այդմ հավասար են և զուգահեռ [Պնդում 1.33]. Եվ EV-ն (կողմը) է դասական ութանկյունին: Այսպես QW-ն (կողմը) է դասական ութանկյունին: Եվ քանի որ QW-ը (կողմը) է դասական ութանկյունին, և WZ-ն (կողմը) տասանկյունին, և անկյուն QWZ-ն ուղղահայաց է [Նախաձև 11.3, Պնդում 1.29], ապա QZ-ն (կողմը) հնգանկյունին [Պնդում 13.10]: Այսպես, նույն տրամաբանությամբ, UZ-ը նույնպես հնգանկյունի կողմ է՝ ինչպես, եթե միացնենք VK և WU, ապա նրանք հավասար և հակառակ կողմերում կլինեն: Եվ VK-ն, որը հավասար է շրջանի ռադիուսին, հնգանկյունի կողմ է [Պնդում 4.15_corr.]. Այսպես, WU-ն նույնպես վեցանկյունի կողմ է: Եվ WZ-ն տասանկյունի կողմ է, և անկյուն U WZ-ն ուղղահայաց է: Այսպես, UZ-ն հնգանկյունի կողմ է [Պնդում 13.10]. Եվ QU-ն նույնպես հնգանկյունի կողմ է: Եռանկյունը QUZ հավասար է: Այսպես, նույն ձևով, մյուս եռանկյունները, որոնց հիմքերը QR, RS, ST, TU ուղիղ գծերը, և գագաթները՝ Z կետը, նույնպես հավասար են: Հետո, քանի որ VL-ն (կողմը) է վեցանկյունի, և VX-ն (կողմը) տասանկյունի, և անկյուն LVX-ը ուղղահայաց է, ապա LX-ը հնգանկյունի կողմ է [Պնդում 13.10]. Այսպես, նույն ձևով, եթե միացնենք MV, որն էլ (կողմը) վեցանկյուն է, ապա MX-ն նույնպես հնգանկյունի կողմ է։ Եվ LM-ն նույնպես հնգանկյունի կողմ է։ Այսպես, եռանկյունը LMX հավասար է: Այսպես, նույն տրամաբանությամբ, կարելի է ցույց տալ, որ մյուս եռանկյունները, որոնց հիմքերը M N, N O, OP, P L ուղիղ գծերն են, և գագաթները՝ X կետը, նույնպես հավասար են: Այսպես, իկոսահեդրոն, որը բաղկացած է 20 հավասար եռանկյուններից, կառուցվել է:
Այնպես որ, անհրաժեշտ է այն փակել տրված շրջանակում և ցույց տալ, որ իկոսահեդրոնի կողմը այն իռացիոնալ ուղիղ գիծն է, որը կոչվում է փոքր:
Քանի որ VW-ն (կողմը) վեցանկյունի է, և WZ-ն (կողմը) տասանկյունի է, ապա VZ ուղիղ գիծը կիսվել է էքստրեմում և միջին հարաբերությամբ W կետում, և VW-ն մեծ մասն է [Պնդում 13.9]. Այսպես, քանի որ ZV-ը VW-ի նկատմամբ, ապա VW-ն ZW-ի նկատմամբ հարաբերական է: Եվ VW-ն հավասար է VE-ին, իսկ WZ-ը՝ VX-ին: Այսպես, քանի որ ZV-ը VE-ի նկատմամբ, ապա EV-ը VX-ի նկատմամբ հարաբերական է: Եվ ZVE և EVX անկյունները ուղղահայաց են: Այսպես, եթե միացնենք EZ ուղիղ գիծը, ապա անկյունը XEZ լինելու է ուղղահայաց, հաշվի առնելով XEZ և VEZ եռանկյունների նմանությունը [Պնդում 6.8]. Այսպես, նույն ձևով, քանի որ ZV-ը VW-ի նկատմամբ, ապա VW-ն WZ-ի նկատմամբ հարաբերական է, և ZV-ն հավասար է XW-ին, իսկ VW-ն՝ WQ-ի, այնպես որ XW-ն WQ-ի նկատմամբ հարաբերական է, և WQ-ն ZW-ի նկատմամբ հարաբերական է: