Եվ քանի որ բուրգը, որի հիմքը ABD եռանկյունն է, իսկ գագաթը՝ C կետը, նույնն է, ինչ բուրգը, որի հիմքը CAB եռանկյունն է, իսկ գագաթը՝ D կետը, դրանք սահմանափակված են նույն հարթություններում։ Իսկ բուրգը, որի հիմքը ABD եռանկյունին է, իսկ գագաթը՝ C կետը, ցույց տրվեց, որ այն պրիզմայի մեկ երրորդն է, որի հիմքը ABC եռանկյունն է, և հակառակ հարթությունը DEF, հետևաբար բուրգը, որի հիմքը ABC եռանկյունն է, և D կետի գագաթը, նույնպես բուրգի մեկ երրորդն է, որն ունի նույն հիմքը, ABC եռանկյունը և հակառակ հարթություն DEF:
'' Եզրակացություն ''
''Եվ սրանից պարզ է դառնում, որ ցանկացած բուրգ պրիզմայի երրորդ մասն է, որն ունի իր նույն հիմքը և հավասար բարձրություն։ Իինչը հենց այն է, ինչ պահանջվում էր ցույց տալ:''
Թող զուգահեռանիստ պինդ մարմինները BGML և EHQP ամփոփ լինեն: Եվ քանի որ ABCG բուրգը նման է DEFH բուրգին, հետևաբար ABC անկյունը հավասար է DEF անկյանը, իսկ GBC-ն՝ HEF-ին և ABG-ն՝ DEH-ին: Եվ ինչպես AB-ն է հարաբերվում DE-ին, այնպես էլ BC է հարաբերվում EF-ին, իսկ BG-ն՝ EH-ին [Սահմանում. 11.9]։ Եվ քանի որ AB-ն DE-ին է հարաբերվում, ուստի BC հարաբերվում է EF-ին, և (այդպիսով) հավասար անկյունների շուրջ կողմերը համաչափ են, BM զուգահեռագիծն այսպիսով նման է EQ զուգահեռագծին: Այսպիսով, նույն (պատճառներով) BN-ն նույնպես նման է ER-ին, իսկ BK-ն՝ EO-ին: Այսպիսով, երեք զուգահեռագծերը MB, BK և BN նման են երեք զուգահեռագծերին EQ, EO, ER (համապատասխանաբար): Բայց երեք զուգահեռագծեր MB, BK և BN-ը և’ ) հավասար են, և’ նման են երեք հակադիր զուգահեռագծերին, իսկ երեք զուգահեռագծեր EQ, EO և ER և’ հավասար, և’ նման են երեք հակադիր զուգահեռագծերին [Պնդ. 11.24]: Այսպիսով, պինդ մարմիններ BGML և EHQP-ը սահմանափակված են հավասար թվով նման (և նմանապես դասավորված) հարթություններում: Այսպիսով, պինդ BGML-ը նման է պինդ EHQP-ին [Սահմ. 11.9]։ Իսկ նման զուգահեռանիստ պինդ մարմինները ունեն համապատասխան կողմերի խորանարդ հարաբերությունը [Պնդ. 11.33]:
Այսպիսով, պինդ մարմին BGML-ի հարաբերությունը պինդ մարմին EHQP-ին խորանարդային հարաբերակցությամբ, նույնն է, ինչ համապատասխան BC կողմի հարաբերությունը EF կողմին: Եվ ինչպես պինդ մարմին BGML-ն է հարաբերվում պինդ մարմին EHQP-ին, այնպես էլ ABCG բուրգն է հարաբերվում DEFH բուրգին, քանի որ բուրգը պինդ մարմնի վեցերորդ մասն է, պրիզմայի հաշվին, լինելով զուգահեռանիստ պինդ մարմնի կեսը [Պնդ. 11.28]՝ լինելով նաև բուրգի եռապատիկ [Պնդ. 12.7]: Այսպիսով, ABCG բուրգը նույնպես պետք է ունենա բուրգի DEFH խորանարդ հարաբերակցությունը, ինչպես BC -ի հարաբերությունը EF-ին: (Սա հենց այն է, ինչ պահանջվում էր ցույց տալ):
'' Եզրակացություն ''
''Այսպիսով, սրանից պարզ է նաև, որ բազմանկյուն հիմքեր ունեցող նման բուրգերը միմյանց նկատմամբ ունեն իրենց համապատասխան կողմերի խորանարդային հարաբերակցությունը։ Որովհետև դրանք բաժանելով իրենց մեջ պարունակվող բուրգերի, որոնք ունեն եռանկյուն հիմքեր, ընդ որում հիմքերը նույնպես պաժանված նման եռանկյունների, որոնք և՛ թվով հավասար են, և՛ համընկնում են ամբողջին [Պնդ. 6.20]: Ինչպես առաջին բուրգում (ունեցող բազմանկյուն հիմք) եռանկյուն հիմք ունեցող առանձին բուրգը հարաբերակցվում է երկրորդ բուրգում (նաեւ ունենալով բազմանկյուն հիմք) եռանկյուն հիմք ունեցող առանձին բուրգին, այնպես էլ առաջին բուրգում բոլոր եռանկյուն հիմք ունեցող բուրգերի գումարը հարաբերակցվում է երկրորդ բուրգում բոլոր եռանկյուն հիմք ունեցող բուրգերի գումարին [Պնդ. 5.12]։ Սա նշանակում է, որ ամբողջ առաջին բուրգը՝ բազմանկյուն հիմքով, համաչափ է երկրորդ բուրգին՝ բազմանկյուն հիմքով։ Եվ եռանկյուն հիմք ունեցող բուրգը հարաբերակցվում է եռանկյուն հիմք ունեցող բուրգին կողմերի համապատասխան խորացված հարաբերությամբ [Պնդ. 12.8]։ Հետևաբար, բազմանկյուն հիմք ունեցող բուրգը նույնպես հարաբերակցվում է նման հիմք ունեցող բուրգին կողմի և համապատասխան կողմի խորացված հարաբերությամբ։''
== Պնդում 9 ==
Հավասար բուրգերի հիմքերը, որոնք նույնպես ունեն եռանկյունաձև հիմքեր, փոխադարձաբար համեմատական են իրենց բարձրություններին: Իսկ այն բուրգերը, որոնք ունեն եռանկյուն հիմքեր, որոնց հիմքերը փոխադարձաբար համեմատական են իրենց բարձրություններին, հավասար են։
Որովհետև թող լինեն (երկու) հավասար բուրգեր, որոնք ունեն ABC և DEF եռանկյունաձև հիմքեր, իսկ գագաթներով G և H կետերը (համապատասխանաբար): Ես ասում եմ, որ ABCG և DEFH բուրգերի հիմքերը փոխադարձաբար համաչափ են իրենց բարձրություններին, և (այսպես) ինչպես ABC հիմքը հավասար է DEF-ին, այնպես էլ DEFH բուրգի բարձրությունը (է) ABCG բուրգի բարձրությանը: