== Պնդում 8 ==
Դիցուք՝ շրջանից դուրս վերցված որևէ կետից մինչև շրջանագիծ կառուցենք հատվածներ, որոնցից մեկն անցնում է կենտրոնով, իսկ մյուսները պատահական են ընրրված։ Ապա, դեպի ներս գոգավրությամբ շրջանագիծ ուղղված հատվածներից ամենաերկարը կենտրոնով անցնողն է։ Մյուսների համար, ինչքան կենտրոնին մոտ է ընկած հատվածը, այդքան ավելի մեծ է, քան նրանից հեռու գտնվողը։
Դեպի դուրս գոգավրությամբ շրջանագիծ ուղղված հատվածներից ամենակարճը կետի և տրամագծի միջև գտնվողն է։ Մյուսների համար, ամենակարճ հատվածին մոտ ընկած հատվածը ավելի փոքր է, քան նրանից հեռու գտնվողը։ Եվ միայն երկու հավասար հատվածներ կարող են բխել այդ կետից դեպի շրջանագիծ՝ ամենակարճ հատվածի երկու կողմերով։
Դիցուք՝ տրված է ABC շրջանը, և նրանից դուրս որևէ D կետ, որով էլ կառուցում էնք ՝ DA, DE, DF և DC հատվածները, որտեղ DA-ն անցնում է շրջանի կենտրոնով։ Ես պնդում եմ, որ դեպի շրջանագծի ներս գոգավրությամբ մաս ուղղված հատվածներից (AEFC շրջանագծի հատվածը) ամենաերկարը կենտրոնով անցնողն է, այսինքն՝ AD, DE-ն էլ մեծ է DF-ից, իսկ DF-ը՝ DC-ից։
Դեպի շրջանագծի դուրս գոգավրությամբ մաս (HLKG շրջանագծի հատվածւ) ուղղված հատվածներից ամենակարճը կետի և AG տրամագծի արանքում գտնվողն է՝ DG-ն։ Եվ ամենակարճ հատվածին՝ DG-ին մոտ գտնվող հատվածը միշտ ավելի կարճ է, քան դրանից հեռու գտնվողը, այնպես, որ DK-ն փոքր է DL-ից, իսկ DL-ը՝ DH-ից։
[[Պատկեր:Screenshot_2024-12-12_234946.png|center|200px]]
Դիցուք՝ գտնենք շրջանի կենտրոնը [Պնդում 3.1] և մշանակենք M-ով [Պնդում 3.1]։ Կառուցենք ME, MF, MC, MK, ML և MH հատվածները։
Եվ քանի որ AM-ը հավասար է EM-ին, երկու կողմերին էլ ավելացնենք MD-ը ։ Արդյունքում, AD-ը հավասար է EM-ին և MD-ին։ Բայց EM-ը և MD-ը մեծ են ED-ից [Պնդում 1.20]: Հետևաբար, AD-ը նույնպես մեծ է ED-ից։ Կրկին, քանի որ ME-ն հավասար է MF-ին և MD-ը ընդհանուր է, EM և MD հատվածները հավասար են FM և MD հատվածներին։ EMD անկյունն էլ մեծ է FMD-ից։ Արդյունքում, ED հիմքը մեծ է FD հիմքից [Պնդում 1.24]: Նմանապես, կարող ենք ցույց տալ, որ FD-ը մեծ է նաև CD-ից։ Ուստի, AD-ը ամենաերկար հատվածն է, DE-ն մեծ է DF-ից, իսկ DF-ը՝ DC-ից։
Եվ քանի որ MK և KD հատվածների գումարը մեծ է MD-ից [Պնդում 1.20], իսկ MG-ը հավասար է MK-ին, ապա մնացյալ KD-ը մեծ է GD-ից։ Այսպիսով, GD-ն փոքր է KD-ից։ Եվ քանի որ MLD եռանկյան ներքին MK և KD հատվածները կառուցված են MD կողմի վրա, ապա MK և KD հատվածները փոքր են ML-ից և LD-ից [Պնդում 1.21]: MK-ն էլ հավասար է ML-ին։ Հետևաբար, մնացյալ DK-ը փոքր է DL-ից։ Նմանապես, կարող ենք ցույց տալ նաև, որ DL-ն փոքր է DH-ից։ Հետևաբար, DG-ը ամենակարճ հատվածն է, DK-ը փոքր է DL-ից, իսկ DL-ը՝ DH-ից։
Ես նաև պնդում եմ, որ միայն երկու հավասար հատվածներ կարող են բխել D կետից դեպի շրջագիծ՝ ամենափոքր հատվածի՝ DG-ի երկու կողմերից մեկական։ Դիցուք՝ անկյուն DMB-ը, որը հավասար է KMD-ին, կառուցված է MD հատվածի վրա՝ M կետում [Պնդում 1.23], կառուցենք նաև DB-ն։ Քանի որ MK-ն հավասար է MB-ին, իսկ MD-ն ընդհանուր է, MK և MD հատվածները համապատասխանաբար հավասար են BM-ին և MD-ին։ Անկյուն KMD-ն էլ հավասար է անկյուն BMD-ին։ Ուստի DK հիմքը հավասար է DB հիմքին [Պնդում 1.4]։ Հետևաբաև, ես պնդում եմ, որ D կետից՝ DK-ին հավասար այլ հատված չի կարող ձգվել մինչև շրջանագիծ։ Ենթադրենք, որ դա հնարավոր է և կառուցենք DN-ն։ Հետևաբար, քանի որ DK-ն հավասար է DN-ին, DK-ն էլ՝ DB-ին, ապա DB-ն նույնպես հավասար է DN-ին, ստացվում է, որ ամենափոքր հատվածին՝ DG-ին ամենամոտը գտնվող հատվածը հավասար է ամենահեռվում գտնվողին, ինչը անհնար է։ Ուստի, D կետից՝ ABC շրջագծի ուղղությամբ․ շրջանի ամենափոքր հատվածի՝ DG-ի երկու կողմերից մեկական ուղղորդված, մեկից ավել հատված չի կաչող բխել։
Հետևաբար, եթե դիցուք՝ շրջանից դուրս վերցված որևէ կետից մինչև շրջանագիծ կառուցենք հատվածներ, որոնցից մեկն անցնում է կենտրոնով, իսկ մյուսները պատահական են ընրրված։ Ապա, դեպի ներս գոգավրությամբ շրջանագիծ ուղղված հատվածներից ամենաերկարը կենտրոնով անցնողն է։ Մյուսների համար, ինչքան կենտրոնին մոտ է ընկած հատվածը, այդքան ավելի մեծ է, քան նրանից հեռու գտնվողը։
== Պնդում 9 ==