Changes
այսինքն՝ հայտնի նույնությունը։
==ԳԼՈՒԽ ՅՈԹԵՐՈՐԴ։ ԱՄԵՆԱՄԵԾ ԵՎ ԱՄԵՆԱՓՈՔՐ ԱՐԺԵՔՆԵՐ==
Այս գլխում զետեղված խնդիրները պատկանում են որոշ մեծության ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները որոնելու վերաբերյալ խնդիրների չափազանց հետաքրքիր տիպին։
Դրանք կարելի է լուծել տարբեր եղանակներով, որոնցից մեկն այժմ ցույց կտանք։
===ԵՐԿՈՒ ԳՆԱՑՔ===
'''''Խնդիր'''''
Երկաթուղային երկու ճանապարհներ խաչվում են ուղիղ անկյան տակ։ Այդ ճանապարհներով դեպի խաչմերուկ միաժամանակ սլանում են երկու գնացք. մեկը այն կայարանից, որը գտնվում է խաչմերուկից <math>40 \; կմ</math>-ի վրա, իսկ մյուսը այն կայարանից, որը նույն խաչմերուկից գտնվում է <math>50 \; կմ</math>-ի վրա։ Առաջինն անցնում է րոպեում <math>800 \; մ</math>, երկրորդը՝ <math>600 \; մ</math>։ Գնացքների մեկնման պահից հաշված քանի՞ րոպե հետո նրանք միմյանցից կլինեն ամենափոքր հեռավորության վրա։ Որքա՞ն է այդ հեռավորությունր։
'''''Լուծում'''''
Գծենք մեր խնդրի գնացքների շարժման սխեման։ Դիցուք <math>AB</math>-ն և <math>CD</math>-ն ճանապարհի խաչվող ուղիներն են (նկ. 19)։ <math>B</math> կայարանը գտնվում է խաչման <math>O</math> կետից <math>40 կմ</math>-ի վրա։ <math>D</math> կայարանը՝ նրանից <math>30 կմ</math>-ի վրա։ Ենթադրենք, որ <math>x</math> րոպե անց գնացքները կլինեն միմյանցից ամենակարճ հեռավորության վրա՝ <math>MN=m</math>։ <math>B</math>-ից դուրս եկող գնացքն այդ պահին կանցնի <math>BM=0,8x</math> ճանապարհը, քանի որ մեկ րոպեի ընթացում նա անցնում է <math>800 մ = 0,8 կմ</math>։ Հետևաբար՝ <math>OM=40-0,8x</math>։ Ճիշտ այդպես էլ գտնենք, որ <math>ON=50-0,6x</math>։ Ըստ Պլութագորի թեորեմայի
<math>MN \;=\; m \;=\; \sqrt{\overline{OM}^2+\overline{ON}^2} \;=\; \sqrt{(40-0,8x)^2+(50-0,6x)^2}</math>։
<math>m \;=\; \sqrt{(40-0,8x)^2+(50-0,6x)^2}</math>։
Հավասարման երկու մասն էլ բարձրացնելով քառակուսի և կատարելով պարզեցումներ, կստանանք՝
<math>x^2-124x+4100-m^2 \;=\; 0</math>։
Լուծելով այս հավասարումը <math>x</math>-ի նկատմամբ, կունենանք
<math>x=62 \pm\sqrt{m^2-256}</math>։
Քանի որ <math>x</math>-ը անցած րոպեների թիվն է, ուստի կեղծ լինել չի կարող, ապա <math>m^2-256</math> պետք է լինի դրական մեծություն, կամ, ծայրահեղ դեպքում, հավասար զրոյի։ Վերջինը համապատասխանում է <math>m</math>-ի ''ամենափոքր'' հնարավոր արժեքին, և այդ դեպքում
<math>m^2=256</math>, այսինքն՝ <math>m=16</math>։
Ակնհայտ է, որ <math>m</math>-ը <math>16</math>-ից փոքր լինել չի կարող, այլապես <math>x</math>-ը կդառնա կեղծ։ Իսկ եթե <math>m^2-256=0</math>, ապա <math>x=62</math>։
Այսպիսով, գնացքները միմյանց ամենամոտ կլինեն <math>62</math> րոպե հետո, և նրանց փոխադարձ հեռավորությունն այդ ժամանակ կլինի <math>16 կմ</math>։
Որոշենք, թե այդ պահին ինչպես են նրանք դասավորված։ Հաշվենք <math>OM</math> երկարությունը. այն հավասար է
<math>40-62 \cdot 0,8=9,6</math><ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>40-62 \cdot 08=9,6</math>։— ''Մ.''։</ref>։
Մինուս նշանը նշանակում է, որ գնացքն անցնում է խաչմերուկից դուրս <math>9,6 կմ</math>-ով։ Իսկ <math>ON</math> հեռավորությունը հավասար է
<math>50-62 \cdot 0,6=12,8</math>,
այսինքն՝ երկրորդ գնացքը խաչմերուկին չի հասնի. նրանից հեռու կմնա <math>12,8 \; կմ</math>-ով։ Գնացքների դասավորությունը ցույց է տրված 20-րդ նկարում։ Ինչպես տեսնում ենք, ընդհանրապես նա այն չէ, ինչը մենք պատկերացնում էինք մինչև խնդրի լուծումը։ Պարզվեց, որ այս հավասարումը բավականին դիմացկուն է և, չնայած ոչ ճիշտ սխեմայի, ստացվեց ճիշտ լուծում։ Դժվար չէ հասկանալ, թե որտեղից է այդ դիմացկունությունը. այն պայմանավորված է հանրահաշվական նշանների կանոններով։
===ՈՐՏԵ՞Ղ ԿԱՌՈՒՑԵԼ ԿԱՅԱՐԱՆԸ===
'''''Խնդիր'''''
Երկաթուղու ուղղագիծ ճանապարհից <math>20 \; կմ</math> հեռավորության վրա գտնվում է <math>B</math> գյուղը (նկ. 21)։
Որտե՞ղ պետք է կառուցել <math>C</math> կիսակայարանը, որպեսզի <math>AC</math> երկաթուղով և <math>CB</math> խճուղով <math>A</math>-ից մինչև <math>B</math> գնալը խլի հնարավորին չափ քիչ ժամանակ։ Արագությունը երկաթուղով րոպեում <math>0,8</math> կիլոմետր է, խճուղով՝ <math>0,2</math> կիլոմետր։
'''''Լուծում'''''
<math>AD</math> հեռավորությունը (<math>A</math>-ից մինչև <math>AD</math>-ին տարված <math>BD</math> ուղղահայացի հիմքը) նշանակենք <math>a</math>-ով, <math>CD</math>-ն՝ <math>x</math>-ով։ Այդ դեպքում <math>AC=AD-CD=a-x</math>,իսկ <math>CB \;=\; \sqrt{CD^2+BD^2} \;=\; \sqrt{x^2+20^2}</math>։ Ժամանակը, որի ընթացքում գնացքն անցնում է <math>AC</math> ճանապարհը, հավասար է
<math>\frac{AC}{0,8} \;=\; \frac{a-x}{0,8}</math>։
<math>CB</math> ճանապարհը խճուղով անցնելու համար ժամանակը հավասար է
<math>\frac{CB}{0,2} \;=\; \frac{\sqrt{x^2+20^2}}{0,2}</math>։
<math>A</math>-ից <math>B</math> գնալու ընդհանուր տևողությունը հավասար է
<math>\frac{a-x}{0,8}+\frac{\sqrt{x^2+20^2}}{0,2}</math>։
Այս գումարը, որ նշանակում ենք <math>m</math>-ով, պետք է լինի ամենափոքրը։
<math>\frac{a-x}{0,8}+\frac{\sqrt{x^2+20^2}}{0,2} \;=\; m</math>
հավասարումը ներկայացնենք հետևյալ տեսքով՝
<math>-\frac{x}{0,8}+\frac{\sqrt{x^2+20^2}}{0,2} \;=\; m-\frac{a}{0,8}</math>։
Բազմապատկելով <math>0,8</math>-ով, կունենանք՝
<math>-x+4\sqrt{x^2+20^2} \;=\; 0,8m-a</math>։
<math>0,8m-a</math>-ն նշանակելով <math>k</math>-ով և հավասարումը ազատելով արմատից, կստանանք. քառակուսի հավասարում՝
<math>15x^2-2kx+6400-k^2 \;=\; 0</math>,
որտեղից
<math>x \;=\; \frac{k \pm \sqrt{16k^2-96000}}{15}</math>։
Քանի որ <math>k=0,8m-a</math>, ապա <math>m</math>-ի ամենափոքր արժեքի դեպքում <math>k</math>-ն հասնում է ամենափոքր մեծության, և հակառակը<ref>Պետք է նկատի ունենալ, որ <math>k>0</math>, քանի որ<br><math>0,8m \;=\; a-x+4\sqrt{x^2+20^2}>a-x+x \;=\; a</math>։</ref>։ Բայց որպեսզի <math>x</math>-ը լինի իրական, <math>16x^2</math> պետք է լինի <math>96000</math>-ից ոչ փոքր։ Նշանակում է՝ <math>16k^2</math> համար ամենափոքր մեծությունը <math>96000</math>-ն է։ Ուստի՝ <math>m</math>-ը դառնում է ամենափոքր, երբ
<math>16k^2 \;=\; 96000</math>,
որտեղից
<math>k \;=\; \sqrt{6000}</math>,
և, հետևաբար,
<math>x \;=\; \frac{k \pm 0}{15} \;=\; \frac{\sqrt{6000}}{15} \approx 5,16</math>։
''Ինչպիսին էլ որ լինի <math>a=AD</math> երկարությունը'', կիսակայարանը պետք է կառուցել <math>D</math> կետից մոտավորապես <math>5 \; կմ</math> հեռավորության վրա։
Բայց, հասկանալի է, որ մեր լուծումն իմաստ ունի միայն այն դեպքում, երբ <math>x<a</math>, քանի որ հավասարումը կազմելիս մենք <math>a-x</math> արտահայտությունը հաշվեցինք դրական թիվ։
Եթե <math>x=a \approx 5,16</math>, ապա կիսակայարանի կառուցելը ընդհանրապես պետք չէ. խճուղին ուղղակի պետք է անցկացնել դեպի կալարան։ Այդպես պետք է վարվել և այն դեպքում, երբ <math>a</math> հեռավորությունը <math>5,16 \; կմ</math>-ից ավելի կարճ է։
Այս անգամ մենք ավելի կանխատեսող եղանք, քան թե հավասարումը։ Իսկ եթե մենք կուրորեն հավատայինք հավասարմանը, մենք ստիպված կլինեինք ներկա դեպքում կիսակայարանը կառուցել կայարանի հետևում, որը բացահայտ անհեթեթություն կլիներ, այդ դեպքում <math>x>a</math>, և այդ պատճառով
<math>\frac{a-x}{0,8}</math>
ժամանակը, որի ընթացքում հարկավոր է գնալ երկաթգծով, բացասական է։ Դեպքը ուսանելի է. այն ցույց է տալիս, որ մաթեմատիկական զենքից օգտվելիս պետք է պատշաճ շրջահայացությամբ վերաբերվել ստացված արդյունքներին՝ հիշելով, որ դրանք կարող են կորցնել իրենց իրական իմաստը, եթե չիրականացվեն այն նախադրյալները, որոնց վրա հիմնված է մեր մաթեմատիկական զենքի կիրառությունը։
===ԻՆՉՊԵ՞Ս ԱՆՑԿԱՑՆԵԼ ԽՃՈՒՂԻՆ===
'''''Խնդիր'''''
Գետամերձ <math>A</math> քաղաքից պետք է բեռներ փոխադրել <math>B</math> վայրը, որը տեղավորված է գետից <math>a</math> կիլոմետր ներքև և ափից՝ <math>d</math> կիլոմետր հեռու (նկ.22)։ <math>B</math>-ից դեպի գետը ինչպե՞ս անցկացնել խճուղին, որպեսզի բեռների փոխադրումը <math>A</math>-ից <math>B</math> հնարավորին չափ էժան լինի, եթե տոննա-կիլոմետրի փոխադրավարձը գետով երկու անգամ էժան է, քան խճուղով։
'''''Լուծում'''''
<math>AD</math> հեռավորությունը նշանակենք <math>x</math>-ով և խճուղու <math>DB</math> երկարությունը՝ <math>y</math>-ով. ըստ ենթադրության <math>AC</math> երկարությունը հավասար է <math>a</math>-ի, իսկ <math>BC</math> երկարությունը՝ <math>d</math>-ի։
Քանի որ փոխադրումը խճուղով երկու անգամ թանկ է, քան գետով, ապա խնդրի պահանջի համաձայն
<math>x+2y</math>
գումարը պետք է լինի ամենափոքրը։
Այդ ամենափոքր արժեքը նշանակենք <math>m</math>-ով։ Կունենանք հետևյալ հավասարումը
<math>x+2y \;=\; m</math>։
Բայց <math>x=a-DC</math>, իսկ <math>DC \;=\; \sqrt{y^2-d^2}</math>, ուստի մեր հավասարումը կստանա հետևյալ տեսքը՝
<math>a-\sqrt{y^2-d^2}+2y \;=\; m</math>,
կամ արմատից ազատվելուց հետո՝
<math>3y^2-4(m-a)y+(m-a)^2+d^2 \;=\; 0</math>։
Լուծենք այն.
<math>y \;=\; \frac{2}{3}\left(m-a\right) \pm \frac{\sqrt{(m-a)^2-3d^2}}{3}</math>։
Որպեսզի <math>y</math>-ը լինի իրական, <math>(m-a)^2</math>-ն պետք է <math>3d^2</math>-ուց փոքր չլինի։ <math>(m-a)^2</math>-ու ամենափոքր արժեքը հավասար է <math>3d^2</math>, և այդ ժամանակ
<math>m-a \;=\; d\sqrt{3}, \;\; y \;=\; \frac{2(m-a) \pm 0}{3} \;=\; \frac{2d \sqrt{3}}{3}</math>։
<math>sin \angle BDC \;=\; d \;:\; y</math>, այսինքն՝
<math>sin \angle BDC \;=\; \frac{d}{y} \;=\; d \;:\; \frac{2d \sqrt{3}}{3} \;=\; \frac{\sqrt{3}}{2}</math>։
Բայց այն անկյունը, որի սինուսը հավասար է <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>, հավասար է 60°։ Նշանակում է ինչպիսին էլ որ լինի <math>AC</math> հեռավորությունը, խճուղին պետք է անցկացնել գետի նկատմամբ 60°-ի անկյան տակ։
Այստեղ նորից հանդիպում ենք այն նույն առանձնահատկությանը, որին մենք հանդիպեցինք նախորդ խնդրում։ Լուծումն իմաստ ունի միայն որոշակի պայմանի դեպքում։ Եթե վայրը տեղավորված է այնպես, որ խճուղին (որն անցկացվում է գետի նկատմամբ 60°-ի անկյան տակ) անցնում է <math>A</math> քաղաքի այդ կողմով, ապա լուծումը կիրառելի չէ. այդ դեպքում պետք է <math>B \text{ վայրը } A</math> քաղաքի հետ անմիջականորեն կապել խճուղով փոխադրումների համար ընդհանրապես չօգտվելով գետից։
===ԱՐՏԱԴՐՅԱԼԸ ԵՐԲ Է ԼԻՆՈՒՄ ԱՄԵՆԱՄԵԾԸ===
«Մաքսիմումի և մինիմումի» վերաբերյալ շատ խնդիրներ լուծելու համար, այսինքն՝ փոփոխական մեծության ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները գտնելու համար կարելի է օգտվել հանրահաշվական մի թեորեմայից, որի հետ այժմ մենք կծանոթանանք։ Դիտարկենք հետևյալ խնդիրը՝
Ինչպիսի՞ երկու մասի պետք է բաժանել տրված թիվը, որպեսզի դրանց արտադրյալը լինի ամենամեծը։
'''''Լուծում'''''
Դիցուք <math>a</math>-ն տրված թիվ է։ Այդ դեպքում մասերը, որոնցով բաժանված է <math>a</math> թիվը, կարելի է նշանակել
<math>\frac{a}{2}+x \text{ և } \frac{a}{2}-x</math>,
որտեղ <math>x</math> թիվը ցույց է տալիս, թե այդ մասերն ի՛նչ մեծությամբ են տարբերվում <math>a</math> թվի կեսից։ Երկու մասերի արտադրյալը հավասար է
<math>\left(\frac{a}{2}+x\right)\left(\frac{a}{2}-x\right) \;=\; \frac{a^2}{4}-x^2</math>։
Պարզ է, որ վերցված մասերի արտադրյալը կմեծանա <math>x</math>-ի փոքրանալու դեպքում, այսինքն՝ այդ մասերի տարբերության փոքրանալու դեպքում։ Ամենամեծ արտադրյալը կլինի, երբ <math>x=0</math>, այսինքն՝ այն դեպքում, երբ երկու մասերն էլ հավասար են <math>\frac{a}{2}</math>-ի։
Այսպիսով, թիվը պետք է բաժանել ''երկու հավասար մասի''. երկու թվերի արտադրյալը (եթե դրանց գումարը հաստատուն է) կլինի ամենամեծ այն ժամանակ, երբ այդ թվերը միմյանց հավասար են։
Նույն հարցը քննարկենք երեք թվերի համար։
Ինչպիսի՞ երեք մասի պետք է բաժանել տրված թիվը, որպեսզի դրանց արտադրյալն ամենամեծը լինի։
'''''Լուծում'''''
Այս խնդիրը լուծելիս կհիմնվենք նախորդի վրա։
Դիցուք <math>a</math> թիվը բաժանված է երեք մասի։ Սկզբից ենթադրենք, որ մասերից ոչ մեկը հավասար չէ <math>\frac{a}{3}</math>-ի։ Այդ ժամանակ նրանց միջև կգտնվի մի մաս, որը մեծ է <math>\frac{a}{3}</math>-ից (բոլոր երեքն էլ միաժամանակ չեն կարող փոքր լինել <math>\frac{a}{3}</math>-ից). այն նշանակենք
<math>\frac{a}{3}+x</math>-ով.
ճիշտ նույնպես էլ նրանց միջև կգտնվի մի մաս, որը փոքր է <math>\frac{a}{3}</math>-ից. այն նշանակենք
<math>\frac{a}{3}-y</math>-ով.
<math>x և y</math> թվերը դրական են։ Երրորդ մասը, ակնհայտ է, որ հավասար կլինի
<math>\frac{a}{3}+y-x</math>։
<math>\frac{a}{3} \text{ և } \frac{a}{3}+x-y</math> թվերն ունեն միևնույն գումարը, ինչ որ <math>a</math> թվի առաջին երկու մասերը, իսկ դրանց միջև տարբերությունը, այսինքն՝ <math>x-y</math>-ը փոքր է, քան առաջին երկու մասերի միջև եղած տարբերությունը, որ հավասար է <math>x+y</math>։ Ինչպես նախորդ խնդրի լուծումից մենք գիտենք, այստեղից հետևում է, որ
<math>\frac{a}{3}\left(\frac{a}{3}+x-y\right)</math>
արտադրյալը մեծ է, քան <math>a</math> թվի առաջին երկու մասերի արտադրյալը։
Այսպիսով, եթե <math>a</math> թվի առաջին երկու մասերը փոխարինենք
<math>\frac{a}{3} \text{ և } \frac{a}{3}+x-y</math>
թվերով, իսկ երրորդը թողենք անփոփոխ, ապա արտադրյալը կմեծանա։
Դիցուք այժմ մասերից մեկն արդեն <math>\frac{a}{3}</math> է։ Այդ ժամանակ մյուս երկուսը կունենանք հետևյալ տեսքը՝
<math>\frac{a}{3}+x \text{ և } \frac{a}{3}-z</math>։
Եթե մենք այդ վերջին երկու մասերը հավասարեցնենք <math>\frac{a}{3}</math>-ի (որից դրանց գումարը չի փոխվի), ապա արտադրյալը նորից կմեծանա և կդառնա հավասար
<math>\frac{a}{3} \cdot \frac{a}{3} \cdot \frac{a}{3} \;=\; \frac{a^3}{27}</math>։
Այսպիսով, եթե <math>a</math> թիվը բաժանված է <math>3</math> մասի, որոնք միմյանց հավասար չեն, ապա այդ մասերի արտադրյալը փոքր է, քան <math>\frac{a^3}{27}</math>-ը, այսինքն՝ քան ''երեք հավասար'' արտադրիչների արտադրյալը, որոնց գումարը կազմում է <math>a</math>։
Միանգամայն նույն ձևով կարելի է ապացուցել այդ թեորեման թե՛ ''չորս'' արտադրիչների համար և թե՛ ''հինգի'' համար և այլն։
Այժմ դիտարկենք ավելի ընդհանուր դեպք։
Գտնել <math>x</math>-ի և <math>y</math>-ի ո՛ր արժեքների դեպքում <math>x^py^q</math> արտահայտությունը կլինի ամենամեծը, եթե <math>x+y=a</math>։
'''''Լուծում'''''
Պետք է գտնել՝ <math>x</math>-ի ո՛ր արժեքի դեպքում
<math>x^p(a-x)^q</math>
արտահայտությունը հասնում է ամենամեծ արժեքի։ Այդ արտահայտությունը բազմապատկենք <math>\frac{1}{p^pq^q}</math> թվով։ Կստանանք նոր արտահայտություն՝
<math>\frac{x^p}{p^p} \frac{(a-x)^q}{q^q}</math>,
որը, ակներևաբար, հասնում է ամենամեծ մեծության միայն այն դեպքում, որ դեպքում՝ նախասկզբնականը։
Նոր ստացված արտահայտությունը ներկայացնենք հետևյալ տեսքով՝
<math>\underbrace{\frac{x}{p} \cdot \frac{x}{p} \cdot \frac{x}{p} \cdot \frac{x}{p} \cdots} _{p \text{ անգամ}} \underbrace{\frac{a-x}{q} \cdot \frac{a-x}{q} \cdot \frac{a-x}{q} \cdots} _{q \text{ անգամ}}</math>
Այս արտահայտության բոլոր արտադրիչների գումարը հավասար է
<math>\underbrace{\frac{x}{p} + \frac{x}{p} + \frac{x}{p} + \cdots} _{p \text{ անգամ}} + \underbrace{\frac{a-x}{q} + \frac{a-x}{q} + \cdots} _{q \text{ անգամ}} \;=\; \frac{px}{p} + \frac{q(a-x)}{q} \;=\; x+a-x \;=\; a</math>,
այսինքն՝ հաստատուն մեծության։
Հիմնվելով նախորդում ապացուցվածի վրա, եզրակացնում ենք, որ
<math>\frac{x}{p} \cdot \frac{x}{p} \cdot \frac{x}{p} \cdots \frac{a-x}{q} \cdot \frac{a-x}{q} \cdot \frac{a-x}{q} \cdots</math>
արտադրյալը հասնում է մաքսիմումի նրա բոլոր արտադրիչների հավասարության դեպքում, այսինքն, երբ
<math>\frac{x}{p} \;=\; \frac{a-x}{q}</math>։
Գիտենալով, որ <math>a-x=y</math> և տեղափոխելով անդամները, կստանանք հետևյալ համեմատությունը՝
<math>\frac{x}{y} \;=\; \frac{p}{q}</math>։
Այսպիսով, <math>x+y</math> գումարի հաստատուն լինելու, դեպքում <math>x^py^q</math> հասնում է ամենամեծ մեծության այն ժամանակ, երբ
<math>x : y \;=\; p : q</math>։
Նույն ձևով կարելի է ապացուցել, որ
<math>x^py^qz^r, \; x^py^qz^rt^u</math> և այլն
արտադրյալնևրը <math>x+y+x, \; x+y+z+t</math> և այլն գումարների հաստատուն լինելու դեպքում հասնում են ամենամեծ մեծության այն դեպքում, երբ
<math>x : y : z \;=\; p : q : r, x : y : z : t \;=\; p : q : r : u</math>
և այլն։
===ԳՈՒՄԱՐԸ Ե՞ՐԲ Է ԼԻՆՈՒՄ ԱՄԵՆԱՓՈՔՐԸ===
Ընթերցողը, եթե ցանկանում է իր ուժերը փորձել ապացուցելու հանրահաշվական օգտավետ թեորեմաներ, թող ինքնուրույն ապացուցի հետևյալ դրույթները՝
1. Երկու թվերի գումարը, որոնց արտադրյալն անփոփոխ է, դառնում է ամենափոքր, երբ այդ թվերը հավասար են։
Օրինակ՝ <math>36 \text{ արտադրյալի համար՝ } 4+9=13, \; 3+12=15, \; 2+18=20, \; 1+36=37 \text{ և, վերջապես, } 6+6=12</math>։
2. Մի քանի թվերի գումարը, որոնց արտադրյալն անփոփոխ է, դառնում է ամենափոքր, երբ այդ թվերը հավասար են։
Օրինակ՝ <math>216 \text{ արտադրյալի համար } 3+12+6=21, \; 2+18+6=26, \; 9+6+4=19, \text{ մինչդեռ } 6+6+6=18</math>։
Մի շարք օրինակներով ցույց տանք, թե այդ թեորեմաները գործնականում ինչպես են կիրառվում։
===ԱՄԵՆԱՄԵԾ ԾԱՎԱԼԻ ՉՈՐՍՈՒ===
'''''Խնդիր'''''
Գլանաձև գերանից պետք է սղոցել ամենամեծ ծավալի ուղղանկյուն չորսու։ Ինչպիսի՞ ձև կունենա նրա հատվածքը (նկ. 23)։
'''''Լուծում'''''
Եթե <math>x</math>-ը և <math>y</math>-ը ուղղանկյան հատվածքի կողմերն են, ապա ըստ Պյութագորի թեորեմայի
<math>x^2+y^2 \;=\; d^2</math>,
որտեղ <math>d</math>-ն գերանի տրամագիծն է։ Չորսուի ծավալը ամենամեծն է, երբ նրա հատվածքի մակերեսը ամենամեծն է, այսինքն՝ երբ <math>xy</math>-ը հասնում է առավելագույն մեծության։ Բայց եթե <math>xy</math>-ն ամենամեծն է, ապա ամենամեծը կլինի նաև. <math>x^2y^2</math> արտադրյալը։ Քանի որ <math>x^2+y^2</math> գումարը անփոփոխ է, ապա վաղօրոք ապացուցածի համաձայն <math>x^2y^2</math> արտադրյալն ամենամեծը կլինի, երբ <math>x^2=y^2</math> \text{ կամ } <math>x=y</math>։
Այսպիսով, չորսուի հատվածքը պետք է լինի ''քառակուսի''։
===ԵՐԿՈՒ ՀՈՂԱՄԱՍ===
'''''Խնդիրներ'''''
1. Ի՞նչ ձև պետք է ունենա տրված ուղղանկյուն հողամասի մակերեսը, որպեսզի նրան սահմանափակող ցանկապատի երկարությունը լինի ամենափոքրը։
2. Ի՞նչ ձև պետք է ունենա ուղղանկյուն հողամասը, որպեսզի ցանկապատի տրված երկարության դեպքում նրա մակերեսը լինի ամենամեծը։
'''''Լուծումներ'''''
1. Ուղղանկյուն հողամասի ձևը որոշվում է նրա <math>x \text{ և } y</math> կողմերի առնչությամբ։ <math>x \text{ և } y</math> կողմեր ունեցող հողամաղի
մակերեսը հավասար է <math>xy</math>, իսկ ցանկապատի երկարությունը՝ <math>2x+2y</math>։ Ցանկապատի երկարությունը կլինի ամենափոքրը, եթե <math>x+y</math>-ը հասնում է ամենափոքր մեծության։
<math>xy</math> արտադրյալի հաստատուն լինելու դեպքում <math>x+y</math> գումարը ամենափոքր կլինի <math>x=y</math> դեպքում։ Հետևաբար՝ որոնելի ուղղանկյունը քառակուսի է։
2. Եթե <math>x</math>-ը և <math>y</math>-ը ուղղանկյան կողմերն են, ապա <math>2x+2y</math>-ը ցանկապատի երկարությունն է, իսկ <math>xy</math>-ը՝ մակերեսը։ Այդ արտադրյալը կլինի ամենամեծը այն դեպքում, որ դեպքում <math>4xy</math> արտադրյալը, այսինքն՝ <math>2x \cdot 2y</math>-ը վերջին արտադրյալը իր արտադրիչների <math>2x+2y</math> գումարի հաստատուն լինելու դեպքում դառնում է ամենամեծ, երբ <math>2x=2y</math>, այսինքն՝ երբ հողամասն ունի քառակուսու ձև։
Հետևաբար՝ երկրաչափությունից մեզ հայտնի քառակուսու հատկություններին մենք կարող ենք ավելացնել ևս հետևյալները՝ տրված մակերեսի դեպքում բոլոր ուղղանկյուններից միայն քառակուսին կունենա ամենափոքր պարագիծը և տրված պարագծի դեպքում՝ ամենամեծ մակերեսը։
===ՕԴԱՊԱՐՈՒԿ===
'''''Խնդիր'''''
Օդապարուկին, որն ունի շրջանի սեկտորի տեսք, ցանկանում են տալ այնպիսի ձև, որպեսզի այն տվյալ պարագծում տեղավորի ամենամեծ մակերես։ Ինչպիսի՞ն պետք է լինի սեկտորի ձևը։
'''''Լուծում'''''
Ճշտելով խնդրի պահանջը, մենք պետք է որոնենք՝ սեկտորի աղեղի երկարության և նրա շառավղի ինչպիսի հարաբերության դեպքում նրա մակերեսը կհասնի առավելագույն մեծության տվյալ պարագծի դեպքում։
Եթե <math>x</math>-ը սեկտորի շառավիղն է, իսկ <math>y</math>-ը աղեղը, ապա նրա <math>l</math> պարագիծը և <math>S</math> մակերեսը կարտահայտվեն այսպես (նկ. 24)։
<math>l \;=\; 2x+y, \;\; S \;=\; \frac{xy}{2} \;=\; \frac{x(l-2x)}{2}</math>։
<math>S</math> մեծությունը կհասնի մաքսիմումի <math>x</math>-ի այն արժեքի դեպքում, ինչ արժեքի դեպքում՝ <math>2x(l-2x)</math> արտադրյալը, այսինքն՝ քառապատկված մակերեսը։ Քանի որ <math>2x+(l-2x) \;=\; l</math> արտադրիչների գումարը հաստատուն մեծություն է, ապա դրանց արտադրյալը ամենամեծը կլինի, երբ <math>2x \;=\; l-2x</math>, որտեղից
<math>x \;=\; \frac{l}{4}, y \;=\; l-2 \cdot \frac{l}{4} \;=\; \frac{l}{2}</math>։
Այսպիսով, տրված պարագծով սեկտորը շրջափակում է ամենամեծ մակերես այն դեպքում, երբ նրա շառավիղը կազմում է աղեղի կեսը (այսինքն՝ նրա աղեղի երկարությունը հավասար է շառավիղների գումարին կամ նրա պարագծի կոր մասի երկարությունը հավասար է բեկյալի երկարությանը)։ Սեկտորի անկյունը հավասար է ≈115° (երկու ռադիանի)։ Թե ինչպիսին են այդպիսի լայն օդապարուկի թռչելու կարողությունները, այլ հարց է, որի դիտարկումը չի մտնում մեր խնդրի մեջ։
===ՏԱՆ ԿԱՌՈՒՑՈՒՄԸ===
'''''Խնդիր'''''
Ավերված տան տեղում, որից անվնաս է մնացել մի պատը, ցանկանամ են կառուցել նորը։ Անվնաս մնացած պատի
երկարությունը <math>12 \; մ</math> է։ Նոր բնակարանի մակերեսը պետք է հավասար լինի <math>112 քառ. \; մ</math>։ Աշխատանքի արդյունավետ պայմանները այսպիսին են՝
1) պատի գծային մետրի վերանորոգումը նստում է նոր շարվածքի արժեքի 25%-ը.
2) հին պատի մեկ գծամետրի քանդելը և ստացված նյութից նոր պատի շարելը արժե նոր նյութից կառուցվող պատի մեկ գծամետրի արժեքի 50%-ը։
Այդպիսի պայմաններում ինչպե՞ս ամենաշահավետ ձևով օգտագործել անվնաս մնացած պատը։
'''''Լուծում'''''
Դիցուք նախկին պատից պահպանվում է <math>x</math> մետր, իսկ մնացած <math>12-x</math> մետրը քանդում են, որպեսզի ստացված նյութից կրկին բարձրացնեն նոր տան պատի մասը (նկ. 25)։ Եթե նոր նյութից պատի շարվածքի մեկ գծամետրի արժեքը
հավասար է <math>a</math>, ապա հին պատի <math>x</math> մետրի վերանորոգումը կարժենա <math>\frac{ax}{4}, \; 12-x</math> երկարությամբ հատվածի բարձրացնելը՝ <math>\frac{a(12-x)}{4}</math>, այդ պատի մնացած մասինը՝ <math>a[y-(12-x)]</math>, այսինքն՝ <math>a(y+x-12)</math>. երրորդ պատինը՝ <math>ax</math>, չորրորդինը՝ <math>ay</math>։ Ամբողջ աշխատանքը կարժենա
<math>\frac{ax}{4}+\frac{a(12-x)}{2}+a(y+x-12)+ax+ay \;=\; \frac{a(7x+8y)}{4}-6a</math>։
Վերջին արտահայտությունը հասնում է ամենափոքր մեծության այն դեպքում, որ դեպքում
<math>7x+8y</math>
գումարը։
Մենք գիտենք, որ տան <math>xy</math> մակերեսը հավասար է <math>112</math>, հետևաբար՝
<math>7x \cdot 8y \;=\; 56 \cdot 112</math>։
Հաստատուն արտադրյալի դեպքում <math>7x+8y</math> գումարը հասնում է ամենափոքր մեծության այն ժամանակ, երբ
<math>7x \;=\; 8y</math>,
որտեղից՝
<math>y \;=\; \frac{7}{8}x</math>։
<math>y</math>-ի փոխարեն տեղադրելով այս արտահայտությունը
<math>xy \;=\; 112</math>
հավասարման մեջ, կունենանք՝
<math>\frac{7}{8}x^2 \;=\; 112, x \;=\; \sqrt{128} \approx 11,3</math>։
Իսկ քանի որ հին պատի երկարությունը <math>12 \; մ</math> է, ապա քանդման ենթակա է այդ պատի միայն <math>0,7</math> մետրը։
===ԱՄԱՌԱՆՈՑԱՅԻՆ ՏԵՂԱՄԱՍ===
'''''Խնդիր'''''
Ամառանոց կառուցելիս հարկավոր էր ցանկապատել ամառանոցային տեղամասը։ Ցանկապատի համար կար <math>l</math> գծամետր նյութ։ Բացի այդ, կարելի էր օգտվել ավելի վաղ կառուցված ցանկապատից (որպես տեղամասի կողմերից մեկը)։ Այդ պայմաններում ինչպե՞ս ցանկապատել ամենամեծ մակերեսի ուղղանկյուն տեղամասը։
'''''Լուծում'''''
Դիցուք տեղամասի երկարությունը (ցանկապատով) հավասար է <math>x</math>-ի, իսկ լայնությունը (այսինքն՝ ցանկապատին ուղղահայաց ուղղությամբ տեղամասի չափսը) հավասար է <math>y</math>-ի (նկ. 26)։ Այդ ժամանակ տվյալ տեղամասը ցանկապատելու համար հարկավոր է <math>x+2y</math> մետր ցանկապատ, այնպես որ
<math>x+2y \;=\; l</math>։
Տեղամասի մակերեսը հավասար է
<math>S \;=\; xy \;=\; y(l-2y)</math>։
Սա ամենամեծ արժեք կընդունի
<math>2y(l-2y)</math>
մեծության (մակերեսի կրկնապատիկի) հետ միաժամանակ, որն իրենից ներկայացնում է <math>l</math> հաստատուն գումարով երկու արտադրիչների արտադրյալ։ Ուստի՝ ամենամեծ մակերեսի հասնելու համար պետք է տեղի ունենա
<math>2y=l-2y</math>,
որտեղից
<math>y \;=\; \frac{l}{4}, \;\; x \;=\; l-2y \;=\; \frac{l}{2}</math>։
Այլ կերպ ասած, <math>x=2y</math>, այսինքն՝ տեղամասի երկարությունը պետք է նրա լայնությունից երկու անգամ մեծ լինի։
===ԱՄԵՆԱՄԵԾ ՀԱՏՎԱԾՔԻ ՋՐՈՐԴԱՆ===
'''''Խնդիր'''''
Մետաղյա ուղղանկյուն թերթը (նկ. 27) ջրորդանի համար պետք է ծռել հավասարակողմ սեղանի հատվածքի ձևով։ Ինչպես երեում է 28-րդ նկարից, այդ կարելի է անել տարբեր եղանակներով։ Ինչպիսի՞ լայնություններ պետք է ունենան կողմնային շերտերը և դրանք ի՞նչ անկյան տակ պետք է ծռված լինեն, որպեսզի ջրորդանի հատվածքն ամենամեծ մակերես ունենա (նկ. 29)։
'''''Լուծում'''''
Դիցուք թերթի լայնությունը <math>l</math> է։ Կnմնային շերտերի ծալաբացվածքների լայնությունը նշանակենք <math>x</math>-ով, իսկ ջրորդանի հատակի լայնությունը՝ <math>y</math>-ով։ Մտցնենք ևս մի անհայտ <math>z</math>, որի նշանակությունը պարզ է 30-րդ նկարից։
Սեղանի մակերեսը, որ հանդիսանում է ջրորդանի հատվածքը, կլինի՝
<math>S \;=\; \frac{(z+y+z)+y}{2} \cdot \sqrt{x^2-z^2} \;=\; \sqrt{(y+z)^2(x^2-z^2)}</math>։
Խնդիրը հանգեց <math>x</math>-ի, <math>y</math>-ի, <math>z</math>-ի այն արժեքները որոշելուն, որոնց դեպքում <math>S</math>-ը հասնում է առավելագույն մեծության. ընդ որում <math>2x+y</math> գումարը (այսինքն՝ թերթի լայնությունը) պահպանում է <math>l</math> հաստատուն մեծությունը։ Կատարենք ձևափոխություններ՝
<math>S^2 \;=\; (y+z)^2(x+z)(x-z)</math>։
<math>S^2</math> մեծությունը դառնում է ամենամեծ <math>x</math>-ի, <math>y</math>-ի, <math>z</math>-ի այն արժեքների դեպքում, ինչ արժեքների դեպքում ամենամեծ է դառնում <math>3S^2</math>-ն, իսկ վերջինը կարելի է ներկայացնել հետևյալ արտադրյալի տեսքով՝
<math>(y+z)(y+z)(x+z)(3x-3z)</math>։
Այս չորս արտադրիչների գումարը հավասար է
<math>y+z+y+z+x+z+3x-3z \;=\; 2y+4x \;=\; 2l</math>,
այսինքն՝ անփոփոխ է։ Ուստի՝ մեր չորս արտադրիչների արտադրյալը ամենամեծն է, երբ դրանք միմյանց հավասար են, այսինքն՝
<math>y+z \;=\; x+z \text{ և } x+z \;=\; 3x-3z</math>։
Առաջին հավասարումից կունենանք՝
<math>y=x</math>,
իսկ քանի որ <math>y+2x=l</math>, ապա <math>x=y=\frac{l}{3}</math>։
Երկրորդ հավասարումից գտնում ենք
<math>z \;=\; \frac{x}{2} \;=\; \frac{l}{6}</math>։
Այնուհետև, քանի որ <math>z</math> էջը հավասար է <math>x</math> ներքնաձիգի կեսին (նկ. 30), ապա այդ էջի դիմացի անկյունը հավասար է 30°, իսկ հիմքի նկատմամբ ջրորդանի կողմերի թեքության անկյունը հավասար է 90°+30°= 120°։
Այսպիսով, ջրորդանը կունենա ամենամեծ հատվածք, երբ նրա նիստերը ծալված են կանոնավոր վեցանկյան երեք կից կողմերի ձևով։
===ԱՄԵՆԱՄԵԾ ՏԱՐՈՂՈՒԹՅԱՆ ՁԱԳԱՐ===
'''''Խնդիր'''''
Թիթեղյա շրջանից հարկավոր է պատրաստել ձագարի կոնական մասը։ Դրա համար շրջանից կտրում են սեկտոր և շրջանի մնացած մասը ծռում կոնաձև (նկ. 31)։ Քանի՞ աստիճան պետք է լինի կտրված սեկտորի աղեղը, որպեսզի կոնը ստացվի ամենամեծ տարողության։
'''''Լուծում'''''
Շրջանի այն մասի աղեղի երկարությունը, որը ծռվում է որպես կոն, նշանակենք <math>x</math>-ով (գծային չափսերով)։ Հետևաբար՝ կոնի ծնորդը կլինի թիթեղյա շրջանի <math>R</math> շառավիղը, իսկ հիմքի շրջանագիծը հավասար կլինի <math>x</math>-ի։ Կոնի հիմքի <math>r</math> շառավիղը որոշենք հետևյալ հավասարությունից՝
<math>2\pi r \;=\; x</math>, որտեղից <math>r \;=\; \frac{x}{2\pi}</math>։
Կոնի բարձրությունը (Պյութագորի թեորեմայով)
<math>H \;=\; \sqrt{R^2-r^2} \;=\; \sqrt{R2-\frac{x^2}{4\pi^2}}</math>
(նկ. 31)։ Այդ կոնի ծավալն ունի հետևյալ արժեքը՝
<math>V \;=\; \frac{\pi}{3}r^2H \;=\; \frac{\pi}{3}\left(\frac{x}{2\pi}\right)^2 \sqrt{R^2-\frac{x^2}{4\pi^2}}</math>։
Այս արտահայտությունը հասնում է առավելագույն մեծության
<math>\left(\frac{x}{2\pi}\right)^2 \sqrt{R^2-\frac{x^2}{4\pi^2}}</math>
արտահայտության և նրա քառակուսու՝
<math>\left(\frac{x}{2\pi}\right)^4 \left[R^2-\left(\frac{x}{2\pi}\right)^2\right]</math>
հետ միաժամանակ։ Քանի որ
<math>\left(\frac{x}{2\pi}\right)^2+R^2-\left(\frac{x}{2\pi}\right)^2 \;=\; R^2</math>
մեծությունը հաստատուն է, ապա (նախօրոք ապացուցածի հիման վրա) վերջին արտադրյալը կունենա մաքսիմում <math>x</math>-ի այն արժեքի դեպքում, երբ
<math>\left(\frac{x}{2\pi}\right)^2 \;:\; \left[R^2-\left(\frac{x}{2\pi}\right)^2\right] \;=\; 2:1</math>,
որտեղից՝
<math>\left(\frac{x}{2\pi}\right)^2 \;=\; 2R^2-2\left(\frac{x}{2\pi}\right)^2</math>,
<math>3\left(\frac{x}{2\pi}\right)^2 \;=\; 2R^2 \text{ և } x \;=\; \frac{2\pi}{3}R\sqrt{6} \approx 5,13R</math><ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>x \;=\; \frac{2\pi}{3}R\sqrt{5} \approx 5,15R</math>։— ''Մ.''։</ref>։
Աստիճաններով <math>x</math> աղեղը հավասար կլինի 295°<ref>Գրքում վրիպակ է՝ 235°։— ''Մ.''։</ref>. նշանակում է՝ կտրված սեկտորի աղեղը պետք է պարունակի ≈65°։
===ԱՄԵՆԱՊԱՅԾԱՌ ԼՈՒՍԱՎՈՐՎԱԾՈՒԹՅՈՒՆԸ===
'''''Խնդիր'''''
Սեղանից ի՞նչ բարձրության վրա պետք է գտնվի մոմի բոցը, որպեսզի սեղանի վրա եղած դրամը լուսավորվի ամենից պայծառ։
'''''Լուծում'''''
Թվում է, թե ամենալավ լուսավորվածության հասնելու համար բոցը պետք է ըստ հնարավորին ավելի ցածր տեղավորել։ Այդ սխալ է. ցածր դիրքում բոցի ճառագայթներն ընկնում են շատ թեք ձևով։ Մոմը բարձրացնել այնպես, որ ճառագայթներն ընկնեն շեշտակի՝ նշանակում է լույսի աղբյուրը հեռացնել։ Ակնհայտ է, որ լուսավորվածության տեսակետից ամենաձեռնտուն բոցի ինչ-որ միջին բարձրությունն է սեղանից։ Դա նշանակենք <math>x</math>-ով (նկ. 32)։ <math>A</math> բոցով անցնող ուղղահայացի <math>C</math> հիմքից <math>B</math> դրամի <math>BC</math> հեռավորությունը նշանակենք <math>a</math>-ով։ Եթե <math>i</math>-ն բոցի պայծառությունն է, ապա համաձայն օպտիկայի օրենքների, դրամի լուսավորվածությունը կարտահայտվի այսպես՝
<math>\frac{i}{AB^2}cos\alpha \;=\; \frac{icos\alpha}{\left(\sqrt{a^2+x^2}\right)^2} \;=\; \frac{icos\alpha}{a^2+x^2}</math>,
որտեղ <math>\alpha</math>-ն <math>AB</math> ճառագայթների փնջի անկման անկյունն է։ Քանի որ
<math>cos\alpha \;=\; cosA \;=\; \frac{x}{AB} \;=\; \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}</math>,
ապա լուսավորվածությունը հավասար է
<math>\frac{i}{a^2+x^2} \cdot \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} \;=\; \frac{ix}{(a^2+x^2)^\frac{3}{2}}</math>։
Այս արտահայտությունը հասնում է մաքսիմումի <math>x</math>-ի այն արժեքի դեպքում, որի դեպքում և նրա քառակուսին, այսինքն՝
<math>\frac{i^2x^2}{(a^2+x^2)^3}</math>։
Որպես հաստատուն մեծություն <math>i^2</math> արտադրիչը բաց թողնենք, իսկ հետազոտվող արտահայտության մնացած մասը ձևափոխենք այսպես.
<math>\frac{x^2}{(a^2+x^2)^3} \;=\; \frac{1}{(x^2+a^2)^2}\left(1-\frac{a^2}{x^2+a^2}\right) \;=\; \left(\frac{1}{x^2+a^2}\right)^2 \left(1-\frac{a^2}{x^2+a^2}\right)</math>։
Ձևափոխված արտահայտությունը մաքսիմումի է հասնում
<math>\left(\frac{a^2}{x^2+a^2}\right)^2 \left(1-\frac{a^2}{x^2+a^2}\right)</math>
արտահայտության հետ միաժամանակ, քանի որ ներմուծված <math>a^4</math> հաստատուն արտադրիչը չի ազդում <math>x</math>-ի այն արժեքի վրա, որի դեպքում արտադրյալը հասնում է մաքսիմումի։ Նկատելով, որ այդ արտադրիչների առաջին աստիճանների գումարը հաստատուն մեծություն է՝
<math>\frac{a^2}{x^2+a^2}+\left(1-\frac{a^2}{x^2+a^2}\right) \;=\; 1</math>,
եզրակացնում ենք, որ դիտարկվող արտադրյալը դառնում է ամենամեծ, երբ
<math>\frac{a^2}{x^2+a^2} \;:\; \left(1-\frac{a^2}{x^2+a^2}\right) \;=\; 2 : 1</math>
Կունենանք հետևյալ հավասարումը՝
<math>a^2 \;=\; 2x^2+2a^2-2a^2</math>։
Լուծելով այս հավասարումը, գտնում ենք`
<math>x \;=\; \frac{a}{2} \approx 0,71a</math>։
Դրամը ամենից պայծառ կլուսավորվի, եթե լույսի աղբյուրը գտնվում է այնպիսի բարձրության վրա, որը հավասար է աղբյուրի պրոյեկցիայից մինչև դրամի հեռավորության <math>0,71</math> մասին։ Այս հարաբերության գիտենալը օգնում է աշխատանքային տեղը ամենալավ ձևով լուսավորելու գործին։
