Changes

Եթե հատվածը մասնատենք ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ հատվածի և ամբողջ հատվածի կեսի գումարի կտորի վրա քառակուսին հավասար , գումարած ամբողջի կեսը, հնգապատիկն է 5 անգամ ամբողջ հատվածի կեսի քառակուսուն։վրա քառակուսու։

Դիցուք՝ Թող AB հատվածը բաժանված և DC վրա քառակուսիները՝ AE և DF, նկարագրվեն։ Եվ DF պատկերում գծվի։ Եվ թող գիծը FC գծվի՝ հասնելով G-ին։ Եվ քանի որ AB ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ С-ումC կետում, որտեղ ապա ABC բազմապատկիչը հավասար է AC-ի վրա քառակուսուն [Սահմանում 6.3, Պնդում 6.17]։ Եվ CE-ն մեծ հատվածն ABC բազմապատկիչն է ''(Նկ․ 1)''։ Շարունակենք , իսկ FH-ն՝ AC հատվածը-ի վրա քառակուսին։ Այսպիսով, CE-ն հավասար է FH-ին։ Եվ քանի որ BA-ն կրկնապատիկն է AD-ի, իսկ BA-ն հավասար է KA-ին, և տեղադրենք <math>AD = \frac{AB}{2}</math>-ն՝ AH-ին, ապա KA-ն նույնպես կրկնապատիկն է AH-ի։ Եվ քանի որ KA-ն AH-ի նկատմամբ հարաբերություն է, CK-ն նույնպես CH-ի կրկնապատիկն է [Պնդում 6.1]։ Ես պնդում եմԱյսպիսով, CK-ն կրկնապատիկն է CH-ի։ Եվ LH-ն գումարած HC կրկնապատիկն է CH-ի [Պնդում 1.43]։ Այսպիսով, KC-ն հավասար է LH-ի գումարած HC-ի։ Եվ CE-ն ցույց տրվեց, որ <math>CD^2 = 5\cdot DA^2</math>:հավասար է HF-ին։ Այսպիսով, ամբողջ քառակուսի AE-ն հավասար է գնոմոն MNO-ին։

Դիտարկենք AB և CD կողմերով քառակուսիները՝ ABEK և DLFC ''(Նկ․ 1)''։ Տանենք DF անկյունագիծը և FC հատվածը շարունակելով հատենք KE-ի հետ G-ում։ Քանի որ AB հատվածը բաժանված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ C-ում, ապա AB և BC կողմերով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է AC կողմով քառակուսու մակերեսին`<math>AC^2 = AB\cdot BC</math> ''(Սահմ․ 6․3, Պնդ․ 6․17)''։ Հետևաբար CBEG ուղղանկյան մակերեսը հավասար է FH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին ''(Նկ․ 1)'': Եվ քանի որ <math>AB = 2\cdot AD</math> և <math>BA = KA</math>, <math>-ն կրկնապատիկն է AD = AH</math>, հետևաբար <math>KA = 2\cdot AH</math>: Այսպիսով ստանում ենք հարաբերություն՝ <math>\frac{KA}{AH} = \frac{KA\cdot AC}{AH\cdot AC} </math> ''(Պնդ․ 6․1)''-ի, հետևաբար՝ ACGK ուղղանկյան մակերեսը հավասար է երկու անգամ CH անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին: Եվ քանի որ LH անկյունագծով ուղղանկյունը հավասար է CH անկյունագծով ուղղանկյանը, ապա նրանց մակերեսների գումարը հավասար է երկու անգամ СH անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին ''(Պնդ․ 1․43)'': Այսպիսով ACKG ուղղանկյան մակերեսը հավասար է LH և HC անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարին։ Ինչպես ցույց տրվեց վերևում, ուղղանկյուն СBEGBA-ի մակերեսը հավասար վրա քառակուսին չորսապատիկն է FH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին, հետևաբար ABEKAD-ի մակերեսը վրա քառակուսու՝ այսինքն, AE-ն չորսապատիկն է DH-ի։ Եվ AE-ն հավասար է գնոմոն MNO-ին (CHին։ Եվ, FHայսպիսով, LH անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարին): Քանի որ գնոմոն <math>MNO = 4\cdot -ն նույնպես չորսապատիկն է AP</math>-ի։ Այսպիսով, հետևաբար DLFC քառակուսու մակերեսը հավասար ամբողջ DF-ը հնգապատիկն է 5 անգամ AP անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ -ի։ Եվ DF-ը CD-ի վրա քառակուսին է, իսկ AP-ն՝ DA-ի վրա քառակուսին։ Այսպիսով <math>, CD^2 = 5\cdot -ի վրա քառակուսին հնգապատիկն է DA^2</math>: -ի վրա քառակուսու։

Այսպիսով, եթե հատվածը մասնատենք ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ հատվածի և ամբողջ հատվածի կեսի գումարի կտորի վրա քառակուսին հավասար , գումարած ամբողջի կեսը, հնգապատիկն է 5 անգամ ամբողջ հատվածի կեսի քառակուսունվրա քառակուսու։ (Իսկ դա էր, ինչը և պահանջվում ինչ պետք էր ապացուցել։ցույց տալ)։

Եթե հատվածի ուղիղ գծի վրա քառակուսին հավասար հնգապատիկն է նրա հատվածներից մեկի դրա մի կտորի վրա քառակուսու հնգապատիկին, և երկու անգամ կրկնապատիկ այդ փոքր հատվածը մասնատված կտորը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա հարաբերության մեծ հատվածը կտորը կլինի սկզբնական հատվածի մյուս մնացորդ մասն է։ուղիղ գծի մնացած մասը։

Դիցուք՝ եթե <math>Թող AB^2 = 5\cdot AC^2</math> և СВ շարունակենք, այնպեսCD վրա քառակուսիները՝ AF և CG, նկարագրվեն։ Եվ թող AF պատկերում գծվի։ Եվ թող BE գիծը գծվի։ Եվ քանի որ <math>CD = 2\cdot BA-ի վրա քառակուսին հնգապատիկն է AC</math>-ի վրա քառակուսու, ապա CDAF-ն բաժանվում հնգապատիկն է արտաքին AH-ից։ Այսպիսով, գնոմոն MNO-ն է չորսապատիկ AH-ից։ Եվ քանի որ DC-ն կրկնապատիկն է CA-ից, ապա DC-ի վրա քառակուսին չորսապատիկն է CA-ի վրա քառակուսու՝ այսինքն, CG-ն է չորսապատիկ AH-ից։ Եվ գնոմոն MNO-ն նույնպես ցույց տրվեց, որ չորսապատիկն է AH-ից։ Այսպիսով, գնոմոն MNO-ն հավասար է CG-ին։ Եվ քանի որ DC-ն կրկնապատիկն է CA-ից, և միջին հարաբերությամբDC-ն հավասար է CK-ին, որտեղ մեծ հատվածը CB և AC-ն՝ CH-ին, [CK-ն կրկնապատիկն է ''(Նկ․ 2)''CH-ից], իսկ KB-ն նույնպես կրկնապատիկն է BH-ից [Պնդում 6.1]։Այսպիսով, KB-ն հավասար է LH-ի գումարած HB-ին։ Եվ ամբողջ գնոմոն MNO-ն նույնպես ցույց տրվեց, որ հավասար է ամբողջ CG-ին։ Այսպիսով, մնացորդ HF-ն նույնպես հավասար է մնացորդ BG-ին։ Եվ BG-ն այն բազմապատկիչն է, որը պարունակում է CDB։ Քանի որ CD-ն հավասար է DG-ին։ Եվ HF-ն CB-ի վրա քառակուսին է։ Այսպիսով, CDB բազմապատկիչը հավասար է CB-ի վրա քառակուսուն։

Դիտարկենք AB և CD կողմերով քառակուսիները՝ ALFB և СKGD ''(Նկ․ 2)'': Տանենք AF անկյունագիծը։ Շարունակենք FB հատվածը և հատենք KG-ի հետ E-ում: Քանի որ <math>AB^2 = 5\cdot AC^2</math>, հետևաբար AF անկյունագծով քառակուսու մակերեսը հավասար է 5 անգամ AH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Այսպիսով գնոմոն <math>MNO = 4\cdot AH</math>: Քանի որ <math>DC = 2\cdot CA</math>, հետևաբար <math>ինչպես DC^2 = 4\cdot AC^2</math>, կամ նույնն -ն է ինչ ասենք, որ СG անկյունագծով քառակուսու մակերեսը հավասար է 4 անգամ AH անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Հետևաբար գնոմոն <math>MNO = CG</math> անկյունագծով քառակուսու մակերեսին (HB, HF, HL անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսները հավասար են CDGKCB-ի մակերեսին): Եվ քանի որ <math>DC = 2\cdot CA</math>նկատմամբ, <math>DC = CK</math>, <math>AC = CH</math> ապա <math>KC = 2\cdot CH</math> և KB անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է 2 անգամ BH անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին ''(Պնդ․ 6․1)'' և քանի որ LH և HB անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարը հավասար է երկու անգամ HB անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին ''(Պնդ․ 1.43)'', ապա KB անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավսար է LH և HB անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարին։ Ինչպես ցույց էր տրված վերևում գնոմոն MNOայնպես էլ CB-ն հավասար է СG անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Հետևում է, որ HF անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է BDGE ուղղանկյան մակերեսին։ Իսկ վերջինս հավասար է СD և BD կողմերով կառուցված ուղղանկյան մակերեսին, <math>CD = DG</math>, HF անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը հավասար է <math>CB^2</math>-ի նկատմամբ [Պնդում 6.17]։ Հետևաբար CD և BD կողմերով կառուցված ուղղանկյան մակերեսը հավասար է <math>CB^2</math> <math>(CB^2 = DC\cdot BD)</math>: Այսպիսով, ստանում ենք <math>\frac{DC}{CB} = \frac{CB}{BD}</math> ''(Պնդ․ 6․17)'': Եվ քանի որ DC -ն ավելի մեծ է , քան СB CB (տես Լեմմա, ներքևումլեմա), ապա СBCB-ն նույնպես ավելի մեծ է , քան BD-ն։ [Պնդում 5.14]։ Այսպիսով, եթե CD հատվածը բաժանված ուղիղ գծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա СB-ն նրա մեծ հատվածն է։ Այսպիսով, եթե հատվածի քառակուսին հավասար է նրա հատվածներից մեկի քառակուսու հնգապատիկին, և երկու անգամ այդ փոքր հատվածը մասնատված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա հարաբերության մեծ հատվածը սկզբնական հատվածի մյուս մնացորդ մասն է, ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։կտորը կլինի CB։