Changes
Այդպես, ապոտոմի վրա դրված քառակուսին, կիրառված ռացիոնալ ուղիղ-գծին, առաջացնում է առաջին ապոտոմ որպես լայնություն։ Դա այն է, ինչ պահանջվում էր ապացուցել։
==Պնդում 98==
Այն քառակուսին որը առաջին ապոտոմի միջին ուղիղ գծի վրա է, և կիրառված է ռացիոնալ ուղիղ-գծին, առաջացնում է երկրորդ ապոտոմ որպես լայնություն։
Թող AB-ն լինի միջին ուղիղ-գծի առաջին ապոտոմը, և CD-ն՝ ռացիոնալ ուղիղ գիծ: Եվ թող CE-ն, որը հավասար է AB-ի վրա դրված քառակուսուն, կիրառված լինի CD-ին, առաջացնելով CF որպես լայնություն: Ես ասում եմ, որ CF-ը երկրորդ ապոտոմ է։
Թող BG-ն լինի AB-ին կցորդ: Այսպիսով, AG և GB-ը միջին ուղիղ-գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսում, պարունակելով ռացիոնալ մակերես [Տե՛ս «Տարրեր», 10.74]: Եվ թող CH-ն, որը հավասար է AG-ի վրա դրված քառակուսուն, կիրառված լինի CD-ին, առաջացնելով CK որպես լայնություն, իսկ KL-ը, որը հավասար է GB-ի վրա դրված քառակուսուն, առաջացնի KM որպես լայնություն: Այսպիսով, CL-ի ամբողջը հավասար է AG-ի և GB-ի վրա դրված քառակուսիների գումարին: Այսպիսով, CL-ը նաև միջին մակերես է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.15, 10.23]: Եվ այն կիրառվում է ռացիոնալ (ուղիղ-գծին) CD, առաջացնելով CM որպես լայնություն: CM-ն, հետևաբար, ռացիոնալ է, և երկարությամբ համաչափելի է CD-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.22]: Եվ քանի որ CL-ը հավասար է AG-ի և GB-ի վրա դրված քառակուսիների գումարին, որի մեջ AB-ի վրա դրված քառակուսին հավասար է CE-ին, մնացորդը՝ երկու անգամ AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը, հավասար է FL-ին [Տե՛ս «Տարրեր», 2.71]: Եվ երկու անգամ AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը ռացիոնալ է: Այսպիսով, FL-ը ռացիոնալ է: Եվ այն կիրառվում է ռացիոնալ ուղիղ-գծին FE, առաջացնելով FM որպես լայնություն: FM-ն, հետևաբար, նույնպես ռացիոնալ է, և երկարությամբ համաչափելի է CD-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.20]: Ուստի, քանի որ AG-ի և GB-ի վրա դրված քառակուսիների գումարը՝ այսինքն CL-ն, միջին է, իսկ երկու անգամ AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը՝ այսինքն՝ FL-ը, ռացիոնալ է, CL-ը, հետևաբար, անհամաչափելի է FL-ի հետ: Եվ ինչպես CL-ն է FL-ի հետ, այնպես էլ CM-ն է FM-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 6.11]: Այսպիսով, CM-ն անհամաչափելի է երկարությամբ FM-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.11]: Եվ երկուսն էլ ռացիոնալ ուղիղ-գծեր են: Այսպիսով, CM-ը և MF-ը ռացիոնալ ուղիղ-գծեր են, որոնք համահարթվում են միայն քառակուսում: CF-ը, հետևաբար, ապոտոմ է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.73]: Այսպես, կասենք, որ այն նաև երկրորդ ապոտոմ է։
Թող FM-ն բաժանված լինի N կետում: Եվ թող NO-ն անցնի կետ N-ի միջով, զուգահեռ CD-ին: Այսպիսով, FO-ն և NL-ը յուրաքանչյուրն հավասար են AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունին: Եվ քանի որ AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը միջին համեմատական է AG-i և GB-ի վրա դրված քառակուսիների հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.21 լեմ.], իսկ AG-ի վրա դրված քառակուսին հավասար է CH-ին, և AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը հավասար է NL-ին, իսկ BG-ի վրա դրված քառակուսին հավասար է KL-ին, NL-ը, հետևաբար, նաև միջին համեմատական է CH-ի և KL-ի հետ: Այսպիսով, ինչպես CH-ն է NL-ի հետ, այնպես էլ NL-ն է KL-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 5.11]: Բայց ինչպես CH-ն է NL-ի հետ, այնպես էլ CK-ն է NM-ի հետ, և ինչպես NL-ն է KL-ի հետ, այնպես էլ NM-ն է MK-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 6.11]: Այսպիսով, ինչպես CK-ն է NM-ի հետ, այնպես էլ NM-ն է KM-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 5.11]: AG-ի և BG-ի վրա դրված (քառակուսիների) գումարից հավասար ուղղանկյուն CK-ի և KM-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը հավասար է NM-ի վրա դրված քառակուսուն [Տե՛ս «Տարրեր», 6.17], այսինքն՝ FM-ի վրա դրված քառակուսու չորրորդ մասը, և քանի որ AG-ի վրա դրված քառակուսին համաչափելի է BG-ի վրա դրված քառակուսուն, CH-ն նաև հհամաչափելի է KL-ի հետ, այսինքն՝ CK-ն՝ KM-ի հետ: Այսպիսով, քանի որ CM-ն և MF-ն երկու տարբեր ուղղագծեր են, և CK-ի և KM-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը, որը հավասար է MF-ի վրա դրված քառակուսու չորրորդ մասին, կիրառվել է ավելի մեծ CM-ին, որը քիչ է մնացել քառակուսային պատկերից, և բաժանել է այն համաչափելի (համակարգված) մասերի, CM-ի վրա դրված քառակուսին ավելի մեծ է MF-ի վրա դրված քառակուսուց, այն քառակուսու չափով, որը համաչափելի է CM-ի երկարության հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.17]: Կցորդ FM-ն էլ համաչափելի է դրված ռացիոնալ ուղիղ-գծի՝ CD-ի երկարությանը: CF-ը, հետևաբար, երկրորդ ապոտոմ է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.16].
Այսպիսով, առաջին ապոտոմի քառակուսին միջին ուղիղ-գծի վրա, կիրառված ռացիոնալ ուղիղ-գծի հետ, առաջացնում է երկրորդ ապոտոմ որպես լայնություն: Իսկ դա հենց այն է, ինչն անհրաժեշտ էր ապացուցել։
