Changes

Սահմանումներ

1. Նման ուղղագծային պատկերներ կոչվում են այն պատկերները, որոնց համապատասխան անկյունները առանձին-առանձին հավասար են, իսկ (համապատասխանող) անկյունների կողմերը՝ համաչափ:

2. Ուղիղ գիծը , որը բաժանված է մեծ և միջին հարաբերությամբ, երբ ամբողջ գիծը մեծ հատվածի հետ նույն հարաբերության մեջ է, ինչ մեծ հատվածը՝ փոքր հատվածի հետ:

Պնդում 1

Այն եռանկյուններն ու զուգահեռագծերը, որոնք ունեն նույն բարձրությունը, ապա նրանց հիմքերը հարաբերվում են համապատասխանաբար:

Պնդում 2

Երբ եռանկյան կողմերից մեկին զուգահեռ մի ուղիղ գիծ է գծվում, ապա այն կտրվածքով կտրում է եռանկյան (մյուս) կողմերը համաչափ։ Եվ եթե եռանկյան (երկու) կողմերը կտրում են համաչափ, ապա այդ կետերը միացնող ուղիղ գիծը կլինի զուգահեռ եռանկյան մնացած կողմին։

Պնդում 4

Նման (հավասարանկյուն) եռանկյուններում կողերն ունեն համեմատական հարաբերություն, և այն կողմերը, որոնք ունեն հավասար անկյուններ, համապատասխանում են միմյանց:

Պնդում 5

Եթե երկու եռանկյունները ունեն համաչափ կողմեր, ապա եռանկյունները կլինեն նման (հավասարանկյուն), և կունենան անկյուններ, որոնք համապատասխանում են համաչափ կողմերին։

Պնդում 6

Եթե երկու եռանկյուններն ունեն համապատասխան անկյունը հավասար է, և այդ հավասար անկյունների կողմերը համաչափ են, ապա եռանկյունները կլինեն հավասարանկյուն և կունենան անկյուններ, որոնք համապատասխանում են այդ կողմերին:

Պնդում 7

Եթե երկու եռանկյուններն ունեն մեկ անկյուն, որոնք հավասար են իրար ,և մյուս անկյունների կողմերն ունեն համապատասխանաբար նույն հարաբերությունը, իսկ մնացած անկյունները երկուսն էլ փոքր են կամ երկուսն էլ փոքր չեն ուղիղ անկյուններից, ապա եռանկյունները կլինեն նման (հավասարանկյուն), և կունենան հավասար անկյուններ, որոնց համապատասխան կողմերը կունենան նույն հարաբերությունը։

Պնդում 8

Եթե ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյունից ուղիղ գիծ է գծվում ՝ ուղղահայաց հիմքի վրա, ապա ուղղահայաց գծի շուրջ գտնվող եռանկյունները նման են միմյանց և մեծ ուղանկյուն (եռանկյանը):

Դիցուք, ABC ուղղանկյուն եռանկյուն է, որի BAC անկյունը ուղիղ անկյուն է, և թող AD ուղիղ գիծը գծված լինի A կետից՝ ուղղահայաց BC-ին [Պնդ. 1.12]։ ABD և ADC եռանկյունները յուրաքանչյուրն էլ նման են ABC-ին և միմյանց։

Հետևանք

Այսպիսով, ակնհայտ է, որ եթե ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյունից ուղղահայաց գիծ տարվի հիմքին , ապա (այդպես) ուղիղ գծի հատվածները հարաբերվում էն հիմքի հատվածներին։ Այդ էր պահանջվում ցույց տալ:

Պնդում 9

Տրված ուղիղ գծից հարկավոր է կտրել սահմանված մասը:

Պնդում 10

Տրված չկտրվող ուղիղ գիծը կտրել այնպես, ինչպես տվյալ կտրված ուղիղ գիծը:

Պնդում 11

Հարկավոր է գտնել երրորդ ուղիղ գիծը, որը համաչափ է մյուս երկու ուղիղ գծերին:

Դիցուք, BA և AC տրված երկու ուղիղ գծերն են, և միասին կազմում են մի կամայական անկյուն։ Պահանջվում է գտնել երրորդ (ուղիղ գիծը), որը համաչափ է BA և AC ուղիղ գծերին։ BA և AC շարունակվեն դեպի D և E կետեր (համապատասխանաբար), և BD-ը հավասար լինի AC-ին [Պնդ. 1.3]։ Այնւհետև,BC գիծը միացվի։ DE գիծը գծեն D կետի միջով՝ զուգահեռ BC գծին [Պնդ. 1.31]։

Պնդում 12

Պահանջվում է գտնել չորրորդ ուղիղ գիծը , որը համաչափ կլինի տրված երեք ուղիղ գծերին:

Պնդում 13

Գտնել ուղիղ գիծը, որը հավասար է երկու ուղիղ գծերի միջին համամասնությանը:

Պնդում 14

Հավասար և հավասարանկյուն զուգահեռագծերում հավասար անկյուններին համապատասխան կողմերը փոխադարձաբար համեմատական են։ Այդ հավասարանկյուն զուգահեռագծերը իրար հավասար են, քանի որ հավասար անկյունների կողմերը փոխադարձաբար համեմատական են են:

Դիցուք, AB և BC հավասար և հավասարանկյուն զուգահեռագծեր են, որոնց B անկյունները հավասար են։ DB և BE գծերը դրված են մի ուղղի վրա։ Հետևաբար, FB և BG գծերը նույնպես մի ուղղու վրա են [Պնդ. 1.14]։ Հարկ է նշել, որ AB և BC զուգահեռագծերի հավասար անկյունների գտնվող կողմերը փոխադարձաբար համեմատական են, այսինքն՝ ինչպես DB հարաբերում է BE-ին, այնպես էլ GB-ն՝ BF-ին։

Պնդում 15

Հավասար եռանկյուններում, որոնց համապատասխան մի անկյունը հավասար է, ապա այդ անկյունների կողմերը փոխադարձ համեմատական են։ Եվ այդ եռանկյունների հավասար անկյունների համապատասխան կողմերը փոխադարձ համեմատական են և հավասար:

Դիցուք, ABC և ADE հավասար եռանկյուններ են, ուստի, մի անկյունը՝ BAC հավասար է համապատասխան DAE անկյանը։ABC և ADE եռանկյունների հավասար անկյունների շուրջ գտնվող կողմերը փոխադարձ համեմատական են, այսինքն՝ ինչպես CA-ն է AD-ին հարաբերվում, այնպես էլ EA-ն՝ AB-ին։

Պնդում 16

Եթե չորս ուղիղ գծեր համաչափ են, ապա (երկու) արտաքին կողմերով կազմված ուղղանկյունը հավասար է (երկու) միջին կողմերով կազմված ուղղանկյանը։ Եվ եթե այդ ուղղանկյունները իրար հավասար են, ապա, չորս ուղիղ գծերը կլինեն համաչափ։

Պնդում 17

Եթե երեք ուղիղ գծեր համաչափ են միմյանց, ապա տրված (երկու) արտաքին հատվածներով կազմված ուղղանկյունը հավասար է միջին հատվածներով կազմված քառակուսուն։ Եվ եթե այդ ուղղանկյունը հավասար է քառակուսուն, ապա տվյալ երեք ուղիղ գծերը կլինեն համաչափ։

Պնդում 18

Նկարագրել ուղղագիծ պատկեր, որը նման է տրված ուղղագծային պատկերին:

Պնդում 19

Նման եռանկյունները մեկմեկու ունեն համապատասխան կողմերի քառակուսի հարաբերություն:

Հետևանք

Այսպիսով, պարզ է, որ եթե երեք ուղիղ գծերը ունեն նույն համաչափությունը, ապա ինչպես առաջինը ունի հարաբերություն երրորդի հետ, այնպես էլ առաջին կողմի վրա կառուղված պատկերը համարժեք և նման է երկրորդ կողմի հիման վրա կառուցված պատկերին։ Ապացուցվեց:

Պնդում 20

Նման բազմանկյունները կարող են բաժանվել նույն թվով նման եռանկյունների, որոնք համամասն են ամբողջական բազմանկյանը, և բազմանկյունը այլ բազմանկյան հետ քառակուսի հարաբերություն՝ համապատասխանաբար կողմով:

Հետևանք

Եվ նույն կերպով կարելի է ցույց տալ նաև, որ նման քառանկյունները ունեն համապատասխան կողմերի միջև քառակուսի հարաբերություն։ Եվ սա արդեն ցույց է տրվել եռանկյունների համար։ Հետևաբար, ընդհանուր առմամբ, նման ուղիղանկյուն պատկերները նույնպես իրար նկատմամբ ունեն համապատասխան կողմերի միջև քառակուսի հարաբերություն։ Ապացուցվեց:

Պնդում 21

Ոււղղագիծ պատկերները, որոնք նման են միևնույն ուղղագծին, նույնպես միմյանց նման են:

Պնդում 22

Եթե չորս ուղիղ գծերը համաչափ են, համանման և նույն կերպ նկարագրված գծված, ապա իրենցով կազմված ուղղագիծ պատկերները նույնպես համաչափ կլինեն: Եվ եթե նմանատիպ և նույն կերպ նկարագրված ուղղագիծ պատկերները (գծված) համաչափ են, ապա ուղիղ գծերն իրենք նույնպես համաչափ կլինեն: