Changes

Թող երեք անկյունները, որոնք լինելու են կամ հաջորդական, կամ ոչ հաջորդական, հավասար կլինեն հավասարանկյուն պենտագոնումհնգանկյունում, ապա պենտագոնը հնգանկյունը կլինի հավասարանկյուն։

Դա ցույց տալու համար, թող պենտագոնի հնգանկյունի ABCDE երեք անկյունները՝ առաջին հերթին A, B և C կետերում, հավասար լինեն իրար։ Ես ասում եմ, որ պենտագոնը հնգանկյունը ABCDE հավասարանկյուն է։

Այսպիսով, նույն կերպ կարող ենք ցույց տալ, որ CDE անկյունը նույնպես հավասար է A, B, C անկյուններին։ Այսպիսով, պենտագոնը հնգանկյունը ABCDE հավասարանկյուն է։

Եթե ուղղաձիգ գծերը կտրում են երկու հաջորդական անկյուններ հավասարանկյուն և հավասար կողմ ունեցող պենտագոնումհնգանկյունում, ապա դրանք իրար կտրում են արտաքին և միջին հարաբերությամբ, և դրանց մեծ հատվածները հավասար են պենտագոնի կողմերինհնգանկյունի կողմերին։ Իսկ հիմա, եթե երկու ուղղաձիգ գծեր՝ AC և BE, հատում են իրար H կետում և դրանք ծածկում են հավասար անկյուններ՝ A և B համապատասխանաբար հավասարանկյուն հնգանկյունում ABCDE, ապա պետք է ապացուցենք, որ յուրաքանչյուր գիծ կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ H կետում և դրանց մեծ հատվածները հավասար են հնգանկյունի կողմերին։ Եկեք ընդունենք, որ ABCDE հնգանկյունի շուրջ է նկարագրված շրջան [Առաջարկ 4.14]: Եվ քանի որ երկու ուղղաձիգ գծերը՝ EA և AB հավասար են երկու ուղղաձիգ գծերին՝ AB և BC համապատասխանաբար, և նրանք պարունակում են հավասար անկյուններ, BE հիմքը հավասար կլինի AC հիմքին, և ABC և ABE եռանկյունները հավասար կլինեն, ուստի մնացած անկյունները նույնպես հավասար կլինեն [Առաջարկ 1.4]: Հետևաբար, անկյուն BAC հավասար կլինի անկյուն ABE-ին: Այսպիսով, անկյուն AHE-ն երկու անգամ մեծ է, քան անկյուն BAH [Առաջարկ 1.32]: Եվ EAC նույնպես երկու անգամ մեծ է BAC-ից, քանի որ շրջանագիծը EDC երկու անգամ մեծ է CB շրջանագծից [Առաջարկներ 3.28, 6.33]: Ուստի, անկյուն HAE-ն հավասար կլինի անկյուն AHE-ին: Հետևաբար, ուղղաձիգ HE-ը հավասար կլինի ուղղաձիգ EA-ին՝ այն է՝ AB [Առաջարկ 1.6]: Եվ քանի որ ուղղաձիգ BA-ն հավասար է AE-ին, ապա անկյուն ABE-ն նույնպես հավասար կլինի AEB-ին [Առաջարկ 1.5]: Բայց, ABE-ն արդեն ցույց տրված էր, որ հավասար է BAH-ին: Հետևաբար, BEA-ն նույնպես հավասար կլինի BAH-ին: Իսկ քանի որ անկյուն ABE-ն ընդհանուր է երկու եռանկյունների՝ ABE և ABH-ի համար, մնացած անկյունը՝ BAE, հավասար կլինի մնացած անկյունի՝ AHB [Առաջարկ 1.32]: Հետևաբար, եռանկյունը ABE հավասար է եռանկյունին ABH: Այսպիսով, համամասնորեն, ինչպես BE-ն հավասար է BA-ին, այնպես էլ AB-ն հավասար է BH-ին [Առաջարկ 6.4]: Եվ BA-ն հավասար է EH-ին: Այսպիսով, ինչպես BE-ն հավասար է EH-ին, այնպես էլ EH-ն հավասար է HB-ին: Եվ BE-ն ավելի մեծ է EH-ից: EH-ն ավելի մեծ է HB-ից [Առաջարկ 5.14]: Հետևաբար, BE-ն կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ H կետում, և մեծ հատվածը՝ EH, հավասար է հնգանկյունի կողմին: Ուստի նույն կերպ կարող ենք ցույց տալ, որ AC-ն նույնպես կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ H կետում, և դրա մեծ հատվածը՝ CH, հավասար է հնգանկյունի կողմին: Սա է այն, ինչ պետք էր ապացուցել: == Պնդում 9 == Եթե նույն շրջանում նկարագրված վեցանկյան և տասանկյան կողմերը միասին գումարվեն, ապա ամբողջ ուղղաձիգ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ (հատման կետում), և նրա մեծ հատվածը տասանկյան կողմն է:

Իսկ հիմաԹող ABC լինի շրջան: Եվ ABC շրջանում նկարագրված պատկերներից, եթե երկու ուղղաձիգ գծեր՝ AC և BEBC լինի տասանկյան կողմը, հատում են իրար H կետում և CD (կողմը) վեցանկյան կողմը: Եվ թող դրանք ծածկում են հավասար անկյուններ՝ A և B համապատասխանաբար հավասարանկյուն պենտագոնում ABCDE, ապա պետք դրված լինեն ուղղահայաց: Պետք է ապացուցենքապացուցվի, որ յուրաքանչյուր գիծ ամբողջ BD ուղղաձիգ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ H (C կետում ), և դրանց որ CD-ն նրա մեծ հատվածները հավասար են պենտագոնի կողմերինհատվածն է:

Եկեք ընդունենքԹող շրջանի կենտրոնը, որ ABCDE պենտագոնի շուրջ է նկարագրված շրջան E կետը, գտնվի [Առաջարկ 43.141]: Եվ քանի որ երկու ուղղաձիգ գծերը՝ EA և AB հավասար են երկու ուղղաձիգ գծերին՝ AB և BC համապատասխանաբար, և նրանք պարունակում են հավասար անկյուններ, BE հիմքը հավասար կլինի AC հիմքինթող EB, EC և ABC և ABE եռանկյունները հավասար կլինենED կետերը միավորված լինեն, ուստի մնացած անկյունները նույնպես հավասար կլինեն [Առաջարկ 1.4]և թող BE-ը գծվի A կետին: Հետևաբար, անկյուն BAC հավասար կլինի անկյուն ABEՔանի որ BC-ին: Այսպիսովն հավասարանկյուն տասանկյան կողմ է, անկյուն AHEապա շրջանագիծ ACB-ն երկու 5 անգամ մեծ էBC-ի երկարությունից: Այսպիսով, քան անկյուն BAH [Առաջարկ 1.32]: Եվ EAC նույնպես երկու շրջանագիծ AC-ն 4 անգամ մեծ է BACCB-ից, : Եվ քանի որ AC շրջանագիծը EDC երկու անգամ մեծ հավասար է CB շրջանագծից [Առաջարկներ 3.28-ին, այնպես էլ անկյուն AEC-ն հավասար է CEB-ին [Առաջարկ 6.33]: ՈւստիԱյդպես, անկյուն HAEAEC-ն հավասար կլինի 4 անգամ մեծ է CEB-ից: Եվ քանի որ անկյուն AHEEBC-ն հավասար է ECB-ին: Հետևաբար[Առաջարկ 1.5], ուղղաձիգ HEապա անկյուն AEC-ը հավասար կլինի ուղղաձիգ EAն 2 անգամ մեծ է ECB-ին՝ այն է՝ AB ից [Առաջարկ 1.632]: Եվ քանի որ ուղղաձիգ BAEC-ն հավասար է AECD-ին, ապա անկյուն ABECED-ն նույնպես հավասար կլինի AEBէ անկյուն CDE-ին [Առաջարկ 1.5]: ԲայցԱյդպես, ABEանկյուն ECB-ն 2 անգամ մեծ է EDC-ից [Առաջարկ 1.32]: Սակայն AEC-ն արդեն ցույց տրված էրապացուցվել է, որ հավասար 4 անգամ մեծ է BAHEDC-ինից: Հետևաբար, BEAԵվ AEC-ն նույնպես 4 անգամ մեծ է BEC-ից: Այսպիսով, EDC-ն հավասար կլինի BAHէ BEC-ին: Իսկ քանի որ Եվ անկյուն ABEEBD-ն ընդհանուր համատեղ է երկու եռանկյունների՝ ABE եռանկյունում՝ BEC և ABH-ի համարBED: Այդպիսով, մնացած անկյունը՝ BAE, անկյուն BED-ն հավասար կլինի մնացած անկյունի՝ AHB է անկյուն ECB-ին [Առաջարկ 1.32]: ՀետևաբարԱյսպիսով, եռանկյունը ABE EBD հավասար է եռանկյունին ABHEBC: ԱյսպիսովԱյլ կերպ ասած, համամասնականորենհամեմատաբար, ինչպես BEBD-ն հավասար է BABE-ին, այնպես էլ AB-ն հավասար է BH-ին [Առաջարկ 6.4]: Եվ BABE-ն հավասար է EHCD-ին: ԱյսպիսովՈւստի, ինչպես BEBD-ն հավասար է EHDC-ին, այնպես էլ EHDC-ն հավասար է HBCB-ին: Եվ BEBD-ն ավելի մեծ է EHDC-ից: EHԱյսպիսով, DC-ն ավելի նույնպես մեծ է HBCB-ից [Առաջարկ 5.14]: Հետևաբար. Այսպիսով, BE-ն BD ուղղաձիգ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ H (C կետում), և մեծ հատվածը՝ EH, հավասար է պենտագոնի կողմին: Ուստի նույն կերպ կարող ենք ցույց տալ, որ ACDC-ն նույնպես կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ H կետում, և դրա նրա մեծ հատվածը՝ CH, հավասար հատվածն է պենտագոնի կողմին: Սա (Այս է այն, ինչ պետք անհրաժեշտ էր ապացուցել):