Changes
Քանի որ A -ն համարժեք է BC չափին, և D-ն որը մի քանի անգամ մեծ է A-ից համարժեք է EF- ին, ապա կարող ենք ասել, որ որքան չափ կա BC-ում, նույնքան կա EF-ում, որը հավասար է D ին: Եթե BC-ն բաժանենք BG, GH և HC, իսկ EF-ը EK, KL, LF մասերի, ապա կարող ենք նկատել, որ նրանք միմյանց համարժեքորեն հարաբերում են:<ref>Այս պնդումը պնդում 7.9-ի հատուկ դեպքն է</ref> Այսինքն, BG հարաբերում է EKին, ինչպես GH KL-ին, ինչպես HC-ն LF-ին: Այսպիսով, կարող ենք եզրակացնել, որ այն թվերը որը համապատասխանորեն համարժեք են այդ թվերին նույնպես հարաբերում են: Այսպիսով, A-ն հարաբերում է D-ին, ինչպես BG-ն EK-ին, ինչպես GH-ն KL-ին, ինչպես HC-ն LF-ին, որը և պետք էր ապացուցել:
== Պնդում 16 <ref> Այս պնդումը ասում է,որ ab=ba, որտեղ բոլոր տառեը թվեր են:</ref> ==
Եթե երկու թվեր բազմապատկենք միմյանցով և ստանանք մի քանի թվեր, ապա այդ մի քանի թվերը միմյանց հավասար կլինեն:
== Պնդում 17 <ref>Այս պնդումը ասում է, որ եթե d=ab, e=ac, ապա d:e::b:c,որտեղ բոլոր տառեըրը թվեր են </ref> ==
Եթե մի թիվ բազմապատկելով երկու թվերով ստանանք այլ թվեր, ապա նրանցից առաջացած թվերը կունենան նույն հարաբերությունը, ինչ բազմապատկվող թվերը։
[[Պատկեր:Euclid Elements Book 7 Proposition 17.png|center|350px]]
Ուրեմն փոխադարձաբար, ինչպես B-ն է C-ի հանդեպ, այնպես էլ D-ն է E-ի հանդեպ, Ինչը և պետք էր ապացուցել:
== Պնդում 18 <ref>Այս մոդեռը պնդում է,որ եթե ac=d, bc= e, a:b::d:e որտեղ բոլոր տառերը թվեր են </ref> ==
[[Պատկեր:Euclid Elements Book 7 Proposition 18.png|center|250px]]
Եթե չորս թվեր համեմատական են միմյանց, ապա առաջին և չորրորդ թվերի բազմապատկումից ստացված թիվը կլինի հավասար երկրորդի և երրորդի բազմապատկումից ստացված թվին: Եվ եթե առաջինի և չորրորդի բազմապատկումից ստացված թիվը հավասար է երկրորդի և երրորդի բազմապատկումից ստացված թվին, ապա այդ չորս թվերը կլինեն համեմատական:
Քանի որ նույն կառուցվածքով E-ն հավասար է F-ին, ուրեմն ինչպես G-ն է E-ի հետ համեմատում, այնպես էլ G-ն է F-ի հետ համեմատում: Ինչպես G-ն է հարաբերում E-ին, այնպես էլ C-ն է հարաբերում D-ին: Եվ ինչպես G-ն է F-ի հանդեպ, այնպես էլ A-ն է B-ի հանդեպ: Այսպիսով, ինչպես A-ն է B-ի հանդեպ, այնպես էլ C-ն է D-ի հանդեպ:
== Պնդում 19 <ref>Այս մոդեռը պնդում է,որ եթե a:b:c ապա ad=bc, որտեղ բոլոր տառերը թվեր են </ref> ==
Եթե չորս թվերը համեմատական են, ապա թվերը, որոնք առաջանում են առաջինի և չորրորդի բազմապատկման արդյունքում, հավասար կլինեն այն թվի հետ, որը առաջանում է երկրորդի և երրորդի բազմապատկման արդյունքում։ Եվ եթե թվերը, որոնք առաջանում են առաջինի և չորրորդի բազմապատկման արդյունքում, հավասար են երկրորդի և երրորդի բազմապատկման արդյունքին, ապա այդ չորս թվերը համեմատական կլինեն։
[[Պատկեր:Euclid Elements Book 7 Proposition 19.png|center|3ճ0px]]
== Պնդում 27 <ref>Այս մոդեռը պնդում է,որ եթե a պարզ է b-ի նկատմամբ, ապա a քառակուսին նույնպես պարզ կլինի b քառակուսու նկատմամբ, որտեղ բոլոր տառերը թվեր են </ref> ==
Եթե երկու թվեր փոխադարձաբար պարզ են իրարից, և յուրաքանչյուրը նրանցից որոշ թիվ է ստեղծում՝ ինքն իրեն բազմապատկելով, ապա դրանցից ստացված թվերը նույնպես կլինեն փոխադարձաբար պարզ։ Եվ եթե սկզբնական թվերը ստեղծեն որոշ թվեր՝ ստեղծված թվերը բազմապատկելով, ապա դրանք ևս կլինեն փոխադարձաբար պարզ։ Սա միշտ տեղի է ունենում ծայրամասերի վերաբերյալ։
[[Պատկեր:Euclid Elements Book 7 Proposition 27.png|center|250px]]
