Changes
Գիրք 6-ից տեղափոխվում են գիրք 7-ին վերաբերող մասերը
{{Տարերքի գրքեր}}
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկա]]
== Սահմանումներ ==
Միավորը այն է, ըստ որի ամեն գոյող (բան) ասվում է «մեկ»։
Թիվը միավորներից կազմված բազմություն է։†
Թիվը մաս է (ուրիշ) թիվի, փոքրագույնը մեծագույնի, երբ այն չափում է մեծագույնը։‡
Իսկ (եթե փոքրագույնը) մասեր է (մեծագույնի), երբ այն չի չափում այն։§
Եվ մեծագույն (թիվը) փոքրագույնի բազմապատիկն է, երբ մեծագույնը չափվում է փոքրագույնով։
Զույգ թիվը այն թիվն է, որ կարելի է բաժանել երկու հավասար մասերի։
Թեք (կամ կենտ) թիվը այն թիվն է, որը չի կարելի բաժանել երկու հավասար մասերի, կամ որը տարբերվում է զույգ թվից մեկ միավորով։
Զույգ-անգամ-զույգ թիվը այն է, որ չափվում է մի զույգ թվով, ըստ մի այլ զույգ թվի։¶
Իսկ զույգ-անգամ-թեք թիվը այն է, որ չափվում է մի զույգ թվով, ըստ մի թեք (կենտ) թվի։∗
Եվ թեք-անգամ-թեք թիվը այն է, որ չափվում է մի թեք (կենտ) թվով, ըստ մի այլ թեք (կենտ) թվի։$
Առաջնային∥ թիվը այն է, որ չափվում է միայն միավորով։
Թվերը, որոնք պարզ են (առաջնային) միմյանց նկատմամբ, այն թվերն են, որոնք չափվում են միայն միավորով որպես ընդհանուր չափ։
Բարդ թիվը այն է, որ չափվում է ինչ-որ թվով։
Եվ թվերը, որոնք բարդ են միմյանց նկատմամբ, այն թվերն են, որոնք չափվում են ինչ-որ թվով որպես ընդհանուր չափ։
Ասվում է, որ թիվը բազմապատկում է (ուրիշ) թիվը, երբ բազմապատկվող թիվը ինքն իրեն բազմապատկվում է այնքան անգամ, որքան միավորներ կան առաջին (բազմապատկող) թվի, և (այդպես) առաջանում է մեկ այլ թիվ։
Եվ երբ երկու թվեր միմյանց բազմապատկելով առաջացնում են ինչ-որ (ուրիշ) թիվ, ապա (այդպիսով) առաջացած թիվը կոչվում է հարթ (ղեկավար տերմինը "plane" – "հարթ"), և նրա կողմերը այն թվերն են, որոնք բազմապատկում են միմյանց։
Եվ երբ երեք թվեր միմյանց բազմապատկելով առաջացնում են ինչ-որ (ուրիշ) թիվ, ապա (այդպիսով) առաջացած թիվը կոչվում է ծավալային (solid), և նրա կողմերը այն թվերն են, որոնք բազմապատկում են միմյանց։
Քառակուսի (square) թիվը հավասար բազմապատիկ է հավասարի, կամ (հարթ թիվ) է, պարփակված երկու հավասար թվերով։
Եվ խորանարդ (cube) թիվը հավասար-նշանակ բազմապատիկ է հավասարի, կրկին հավասարի, կամ (ծավալային թիվ) է, պարփակված երեք հավասար թվերով։
Թվերը համաչափ են, երբ առաջինը նույն բազմապատիկն է, կամ նույն մասը, կամ նույն մասերն են երկրորդի նկատմամբ, ինչ երրորդը չորրորդի նկատմամբ։
Նման հարթ և ծավալային թվերը այն թվերն են, որոնք ունեն համեմատական (համաչափ) կողմեր։
Կատարյալ թիվը այն է, որը հավասար է իր մասերի գումարին։††
Ծանոթագրություններ: † Այլ կերպ ասելով, «թիվը» միավորից մեծ դրական ամբողջ թիվ է։ ‡ Այլ կերպ ասելով, թիվ a-ն մաս է թիվ b-ի, եթե գոյություն ունի թիվ n, այնպես որ na = b։ § Այլ կերպ ասելով, a թիվը մասեր է b թիվի, (որտեղ a < b), եթե գոյություն ունեն տարբեր թվեր m և n, այնպես որ na = m*b։ ¶ Այլ կերպ ասելով, զույգ-անգամ-զույգ թիվը երկու զույգ թվերի արտադրյալն է։ ∗ Այլ կերպ ասելով, զույգ-անգամ-թեք թիվը մեկ զույգ և մեկ թեք (կենտ) թվերի արտադրյալն է։ $ Այլ կերպ ասելով, թեք-անգամ-թեք թիվը երկու թեք (կենտ) թվերի արտադրյալն է։ ∥ Բառացիորեն, «առաջին»։ †† Այլ կերպ ասելով, կատարյալ թիվը հավասար է իր բաժանարարների գումարին։
== Պնդում 1 ==
Եթե տրվեն երկու անհավասար թվեր, և փոքրագույնը հերթով անընդհատ հանվի մեծագույնից, այնպես, որ մնացորդը երբեք չչափի իրեն նախորդող թիվը, մինչև չմնա մեկ միավոր, ապա սկզբնական թվերը կլինեն միմյանց նկատմամբ պարզ (արնչություն չունեն որևէ ընդհանուր բաժանարարից բացի մեկից):
[[Պատկեր:1.10.png|center|200px]]
Երկու [անհավասար] թվերի, AB և CD-ի դեպքում, եթե փոքրագույնը հերթով անընդհատ հանվի մեծագույնից, թող մնացորդը երբեք չչափի իրեն նախորդող թիվը, մինչև չմնա մեկ միավոր։ Բանաձև եմ, որ AB և CD թվերը պարզ են միմյանց նկատմամբ, այսինքն՝ միայն միավորը չափում է (և) AB-ին, (և) CD-ին։
Եթե AB և CD պարզ չլինեն միմյանց նկատմամբ, ապա որոշ թիվ նրանց կչափի։ Թող այդ թիվը լինի E։ Եվ թող CD-ն, չափելով BF-ը, թողնի FA մնացորդ, փոքր քան ինքն է, հետո AF-ը, չափելով DG-ն, թողնի GC մնացորդ, փոքր քան ինքն է, հետո GC-ն, չափելով FH-ը, թողնի HA միավորը։
Փաստորեն, քանի որ E-ն չափում է CD-ն, և CD-ն չափում է BF-ը, E-ն նույնպես չափում է BF-ը։ Եվ (E-ն) նույնպես չափում է ամբողջ BA-ն։ Ուստի (E-ն) նույնպես կչափի BA-ի մնացորդ AF-ը։ Եվ AF-ն չափում է DG-ն։ Այսպիսով, E-ն նույնպես չափում է DG-ը։ Եվ (E-ն) նույնպես չափում է ամբողջ DC-ն։ Ուստի (E-ն) նույնպես կչափի CG մնացորդը։ Եվ CG-ն չափում է FH-ը։ Այսպիսով, E-ն նույնպես չափում է FH-ը։ Եվ (E-ն) նաև չափում է ամբողջ FA-ն։ Ուստի (E-ն) նույնպես կչափի HA մնացորդային միավորը, թեև դա ուղղակի միավոր է։ Սա բացարձակապես անհնար է։
Հետևաբար գոյություն չունի թիվ, որը չափի (և) AB-ը, (և) CD-ը։ Այսպիսով, AB և CD թվերը պարզ են միմյանց նկատմամբ։ (Ահա թե ինչ էր անհրաժեշտ ցույց տալ):
Մեկնաբանություններ: † Այստեղ օգտագործվում է չարտասանված ընդհանուր գաղափարը, որ եթե a-ն չափում է b-ին, և b-ն չափում է c-ին, ապա a-ն նույնպես չափում է c-ին, որտեղ բոլոր նշանները ներկայացնում են թվեր։ ‡ Այստեղ օգտագործվում է չարտասանված ընդհանուր գաղափարը, որ եթե a-ն չափում է b-ին, և a-ն նաև չափում է b-ի մի մասը, ապա a-ն նույնպես չափում է b-ի մնացորդային մասը, որտեղ բոլոր նշանները ներկայացնում են թվեր։
== Պնդում 2 ==
Գտնել երկու տրված թվերի (որոնք միմյանց նկատմամբ պարզ չեն) ամենամեծ ընդհանուր չափը:
[[Պատկեր:1.11.png|center|200px]]
Թող AB և CD լինեն երկու տրված թվերը, որոնք միմյանց նկատմամբ պարզ չեն։ Արդ, անհրաժեշտ է գտնել AB և CD թվերի ամենամեծ ընդհանուր չափը։
Իրոք, եթե CD-ը չափում է AB-ը, ապա CD-ը այդպիսով AB-ի և CD-ի ընդհանուր չափն է (քանի որ CD-ը նաև ինքն իրեն է չափում)։ Եվ ակնհայտ է, որ այն նաև ամենամեծ (ընդհանուր չափն) է։ Քանի որ ոչինչ, որ մեծ է CD-ից, չի կարող չափել CD-ին։
Բայց եթե CD-ը չի չափում AB-ը, ապա AB-ից և CD-ից կմնա որոշ թիվ, երբ փոքրագույնը հերթով շարունակաբար հանենք մեծագույնից, որը կչափի իրեն նախորդող թիվը։ Որովհետև մեկ միավոր չի մնա։ Բայց եթե ոչ, ապա AB և CD թվերը պարզ կլինեն միմյանց նկատմամբ [Բանաձև 7.1]։ Սա հակասում է այն, ինչ ենթադրվել էր։ Ուստի կմնա մի թիվ, որը կչափի իրեն նախորդող թիվը։ ԵՎ թող CD-ը, չափելով BE-ն, թողնի EA մնացորդը, որը փոքր է իրենից, հետո EA-ն, չափելով DF-ը, թողնի FC մնացորդը, որը փոքր է իրենից, ապա CF-ը թող չափի AE-ը։ Ուստի, քանի որ CF-ը չափում է AE-ը, իսկ AE-ը չափում է DF-ը, CF-ը կհասկանանք, որ չափում է նաև DF-ը։ Եվ այն նաև ինքն իրեն է չափում։ Ուստի այն կչափի նաև ամբողջ CD-ը։ Իսկ CD-ը չափում է BE-ը։ Ուստի CF-ը նույնպես կչափի BE-ը։ Եվ (E-ն) նույնպես չափում է ամբողջ BA-ն։ Ուստի (E-ն) նույնպես կչափի AE մնացորդ AF-ը։ Եվ AF-ն չափում է DG-ը։ Այսպիսով, E-ն նույնպես չափում է DG-ը։ Եվ (E-ն) նույնպես չափում է ամբողջ DC-ը։ Ուստի (E-ն) նույնպես կչափի CG մնացորդը։ Եվ CG-ն չափում է FH-ը։ Այսպիսով, E-ն նույնպես չափում է FH-ը։ Եվ (E-ն) նաև չափում է ամբողջ FA-ն։ Ուստի (E-ն) նույնպես կչափի HA մնացորդային միավորը, թեև դա ուղղակի միավոր է։ Սա բացարձակապես անհնար է։
Հետևաբար գոյություն չունի թիվ, որը չափի (և) AB-ը, (և) CD-ը։ Այսպիսով, AB և CD թվերը պարզ են միմյանց նկատմամբ։ (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։
Հաջորդակում (Corollary)
Այդպիսով ակնհայտ է, որ եթե մի թիվ չափում է երկու թիվ, ապա այն կչափի նաև նրանց ամենամեծ ընդհանուր չափը։ (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։
== Պնդում 3 ==
Գտնել երեք տրված թվերի (որոնք միմյանց նկատմամբ պարզ չեն) ամենամեծ ընդհանուր չափը:
[[Պատկեր:1.12.png|center|200px]]
Թող A, B և C լինեն երեք տրված թվերը, որոնք միմյանց նկատմամբ պարզ չեն։ Արդ, անհրաժեշտ է գտնել A, B և C թվերի ամենամեծ ընդհանուր չափը։
Թող նախ վերցված լինի A և B երկու (թվերի) ամենամեծ ընդհանուր չափը D [Բանաձև 7.2]։ Ուրեմն D-ը կամ չափում է, կամ չի չափում C-ը։ Նախ ենթադրենք, որ այն չափում է (C-ը)։ Այն նաև չափում է A-ն և B-ը։ Ուստի D-ը չափում է A, B և C թվերը։ Այսպիսով, D-ը A, B և C թվերի ընդհանուր չափն է։ Բանաձև եմ, որ այն նաև ամենամեծ (ընդհանուր) չափն է։ Քանի որ եթե D-ը A, B և C ամենամեծ ընդհանուր չափը չլինի, ապա կգտնվի մի թիվ, որը ավելի մեծ քան D-ը, որը կչափի A, B և C թվերը։ Թող այն լինի E։ Եվ քանի որ E-ն չափում է CD-ը, իսկ CD-ն չափում է BE-ը, E-ն նույնպես չափում է BE-ը։ Եվ (E-ն) նույնպես չափում է ամբողջ BA-ն։ Ուստի (E-ն) նույնպես կչափի BA-ի մնացորդ AF-ը։ Եվ AF-ն չափում է DG-ն։ Այսպիսով, E-ն նույնպես չափում է DG-ը։ Եվ (E-ն) նույնպես չափում է ամբողջ DC-ն։ Ուստի (E-ն) նույնպես կչափի CG մնացորդը։ Եվ CG-ն չափում է FH-ը։ Այսպիսով, E-ն նույնպես չափում է FH-ը։ Եվ (E-ն) նաև չափում է ամբողջ FA-ն։ Ուստի (E-ն) նույնպես կչափի HA մնացորդային միավորը, թեև դա ուղղակի միավոր է։ Սա բացարձակապես անհնար է։
Հետևաբար, ոչ մի թիվ, որը մեծ է CF-ից, չի կարող չափել AB և CD թվերը։ Այսպիսով, CF-ը AB և CD թվերի ամենամեծ ընդհանուր չափն է։ (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։
Հաջորդակում (Corollary)
Այդպիսով ակնհայտ է, որ եթե մի թիվ չափում է երկու թիվ, ապա այն կչափի նաև նրանց ամենամեծ ընդհանուր չափը։ (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։
== Պնդում 4 ==
Ցանկացած թիվ կամ մաս է, կամ մասեր են յուրաքանչյուր (ուրիշ) թվի, ավելի փոքրն ավելի մեծի։
Թող A և BC լինեն երկու թվեր, և թող BC-ը լինի փոքրագույնը։ Բանաձև եմ, որ BC-ը կամ մաս է, կամ մասեր են A թվի։
Քանի որ A և BC թվերը կամ պարզ են միմյանց նկատմամբ, կամ ոչ։ Նախ թող A և BC պարզ լինեն միմյանց նկատմամբ։ Այդ դեպքում, բաժանելով BC-ը նրա միավորներից բաղկացուցիչ մասերի, BC-ի յուրաքանչյուր միավոր կլինի A-ի ինչ-որ մասը։ Հետևաբար, BC-ը A-ի մասերից է։
[[Պատկեր:1.13.png|center|200px]]
Այսպիսով, թող A և BC պարզ չլինեն միմյանց նկատմամբ։ Ուրեմն BC-ը կամ չափում է A թիվը, կամ չի չափում։ Եթե BC-ը չափում է A-ը, ապա BC-ը A-ի մաս է։ Իսկ եթե ոչ, թող A և BC ամենամեծ ընդհանուր չափը, D-ը, վերցվի [Բանաձև 7.2]։ Եվ թող BC-ը բաժանվի BE, EF, և FC մասերի, որոնք հավասար են D-ին։ Եվ, քանի որ D-ը չափում է A-ը, D-ը A-ի մաս է։ Եվ D-ը հավասար է BE, EF և FC մասերին։ Հետևաբար, BE, EF, FC ամեն մեկը A-ի մաս է։ Ուրեմն BC-ը A-ի մասերից է։
Այսպիսով, ցանկացած թիվ կամ մաս է, կամ մասեր են յուրաքանչյուր (ուրիշ) թվի, ավելի փոքրն ավելի մեծի։ (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։
== Պնդում 5 ==
Եթե մի թիվ մաս է մեկ թվի, և մի այլ (թիվ) նույն մասը չէ մեկ ուրիշի, ապա (կատարյալ) առաջատար թվերի գումարը նույնպես կլինի նույն մասը հաջորդ թվերի գումարի, ինչ-որ մի թիվ մեկ այլ թվի։
[[Պատկեր:1.14.png|center|200px]]
Թող A թիվը լինի BC թվի մի մաս, իսկ D թիվը լինի նույն մասը EF թվի նկատմամբ, ինչ A-ն է BC-ի նկատմամբ։ Բանաձև եմ, որ A և D թվերի գումարը նույնպես կլինի նույն մասը BC և EF գումարի նկատմամբ, ինչ A-ն է BC-ի նկատմամբ։
Քանի որ ինչ մաս էլ A-ն ունի BC-ի մեջ, D-ն նույն մաս ունի EF-ի մեջ, ուրեմն քանի մասով A-ն բաժանում է BC-ը, նույնքան մասով D-ն բաժանում է EF-ը։ Թող BC-ը բաժանվի BG-ի և GC-ի, որոնք հավասար են A-ին, իսկ EF-ը բաժանվի EH-ի և HF-ի, որոնք հավասար են D-ին։ Այսպես, BG, GC բաժանումների քանակը հավասար կլինի EH, HF բաժանումների քանակին։ Եվ, քանի որ BG-ը հավասար է A-ին, իսկ EH-ը D-ին, ապա BG, EH զույգը նույնպես հավասար է A, D զույգին։ Նույն պատճառներով GC, HF զույգը նույնպես հավասար է A, D զույգին։ Այսպիսով, քանի անգամ BC-ը բաժանվում է A-ով, նույնքան անգամ BC, EF գումարը բաժանվում է A, D գումարով։ Հետևաբար, ինչ մաս A-ն BC-ի է, A, D գումարը էլ նույն մաս է BC, EF գումարի նկատմամբ։
(Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր, ինչ)։
== Պնդում 6 ==
Եթե մի թիվ մասեր է մեկ թվի, իսկ մեկ այլ (թիվ) նույն մասերը ունի մեկ այլ թվի, ապա առաջին երկուսի գումարն էլ նույն մասերը կլինի երկրորդ զույգի գումարի նկատմամբ, ինչպիսին առաջին թիվը երկրորդի նկատմամբ է։
[[Պատկեր:1.15.png|center|200px]]
Թող AB թիվը մասեր լինի C թվի, իսկ DE թիվը նույն մասերը լինի F թվի նկատմամբ, ինչ մասեր AB-ն ունի C-ի մեջ։ Բանաձև եմ, որ AB և DE գումարը նույնպես նույն մասերն է կունենա C և F գումարի նկատմամբ, ինչ մասեր AB-ն ունի C-ի նկատմամբ։
Քանի որ ինչ մասեր էլ AB-ն ունի C-ի մեջ, DE-ն նույն մասերը կունենա F-ի մեջ, ուրեմն քանի մասով AB-ն բաժանում է C-ն, նույնքան մասով DE-ն բաժանում է F-ը։ Թող AB թիվը բաժանվի AG և GB մասերի, որոնք C-ի մասեր են, իսկ DE թիվը բաժանվի DH և HE մասերի, որոնք F-ի մասեր են։ Այսպիսով, AG և GB բաժանումների քանակը հավասար կլինի DH և HE բաժանումների քանակին։ Եվ, քանի որ ինչ մաս AG-ը C-ի նկատմամբ է, DH-ն նույն մասն է F-ի նկատմամբ է, և, փոխարինաբար, ինչ մաս կամ մասեր AG-ն DH-ի նկատմամբ է, C-ն նույնպես նույն մասերը կամ նույն մասը կունենա F-ի նկատմամբ [Բանաձև 7.9]։ Նույն պատճառով, ինչ մաս կամ մասերը GB-ն HE-ի նկատմամբ է, C-ն նույնպես նույն մասերը կամ մասերը կունենա F-ի նկատմամբ [Բանաձև 7.9]։ Եվ ինչ մաս կամ մասերը AG-ն DH-ի նկատմամբ է, GB-ն նույն մասերը կամ մասերը կունենա HE-ի նկատմամբ [Բանաձև 7.5, 7.6]։ Բայց ինչ մաս կամ մասերը AG-ն DH-ի նկատմամբ է, նաև ցույց տրվեց, որ C-ն նույն մասը կամ մասերը ունի F-ի նկատմամբ։ Ուստի, ինչ մասեր կամ որ մասը AB-ն ունի C-ի նկատմամբ, C-ն նույնպես նույն մասերը կամ samu մասերը կունենա F-ի նկատմամբ։ (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր, ինչ)։
*(Ժամանակակից նշանմամբ, եթե a = (m/n)*d, ապա եթե a = (k/l)*c, ապա b = (k/l)*d, որտեղ բոլոր նշանները թվեր են):
== Պնդում 7 ==
Եթե մի թիվ այն նույն մասը լինի ինչ-որ թվի, ինչ (մասը) հանված AE-ն (է) հանված մասի CF-ից, ապա մնացորդը նույնպես կլինի նույն մասը մնացորդի, ինչ հարաբերությամբ, ինչ ամբողջ AB-ն է ամբողջ CD-ի նկատմամբ։
[[Պատկեր:1.16.png|center|200px]]
Թող AB թիվը լինի այն համեմատաբար CD թվի, ինչ AE հանված մասը CF-ի նկատմամբ է։ Բանաձև եմ, որ EB մնացորդը նույնպես կլինի նույն բաժինը FD մնացորդի նկատմամբ, ինչ AB-ն է CD-ի նկատմամբ։
Քանի որ (ինչ մաս AE-ն է CF-ի), թող EB-ն նույնպես նույն մաս լինի CG-ի։ Եվ, քանի որ (ինչ մաս AE-ն է CF-ի), EB-ն նույնպես նույն մաս կլինի CG-ի, ապա (ինչ մաս AE-ն է CF-ի), AB-ն նույնպես նույն մասը կլինի GF-ի [Բանաձև 7.5]։ Եվ (ինչ մաս AE-ն է CF-ի), AB-ն նաև ընդունված է լինել նույն մասը CD-ի [Բանաձև 7.7, 7.8]։ Այսպիսով, (ինչ մաս AB-ն է GF-ի), (AB-ն) նույնպես նույն մասը է CD-ի [Բանաձև 7.7, 7.8]։ Ուրեմն GF-ը հավասար է CD-ին։ Թող CF-ը հանվի երկուսից էլ։ Ուստի GC մնացորդը հավասար է FD մնացորդին։ Եվ, քանի որ (ինչ մաս AE-ն է CF-ի), EB-ն նույնպես նույն մասը կլինի GC-ի, իսկ GC-ն հավասար է FD-ին, ապա (ինչ մաս AE-ն է CF-ի), EB-ն նույնպես նույն մասը է FD-ի։ Բայց (ինչ մաս AE-ն է CF-ի), AB-ն նույնպես նույն մաս է CD-ի։ Ուրեմն EB մնացորդը նույն մասը է FD մնացորդի, ինչ AB-ն է CD-ի։ (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր, ինչ)։
Նշում: Ժամանակակից նշանմամբ, եթե a = (m/n)*b և c = (m/n)*d, ապա (a+c) = (m/n)(b+d), որտեղ բոլոր նշանները ներկայացնում են թվեր։
== Պնդում 8 ==
Եթե մի թիվ այն նույն մասերն է մեկ թվի նկատմամբ, ինչ (հանված) AE մասը է (հանված) CF մասի նկատմամբ, ապա մնացորդը նույնպես կլինի նույն մասերի հարաբերությամբ մնացորդի նկատմամբ, ինչպիսին ամբողջը է ամբողջի նկատմամբ։
[[Պատկեր:1.17.png|center|200px]]
Թող AB թիվը լինի այն նույն մասերն CD թվի նկատմամբ, ինչ AE հանված մասը CF-ի նկատմամբ է։ Բանաձև եմ, որ EB մնացորդը նույնպես կլինի նույն մասերը FD մնացորդի նկատմամբ, ինչ AB-ն է CD-ի նկատմամբ։
Թող GH-ը դրվի հավասար AB-ին։ Ուստի ինչ մասեր GH-ը ունի CD-ի նկատմամբ, AE-ն նույնպես նույն մասերն ունի CF-ի նկատմամբ։ Թող GH-ը բաժանվի CD-ի մասերի՝ GK և KH, իսկ AE-ը՝ CF-ի մասերի՝ AL և LE։ Այսպիսով, GK և KH բաժանումների քանակը հավասար կլինի AL և LE բաժանումների քանակին։ Եվ, քանի որ ինչ մաս GK-ը CD-ի նկատմամբ է, նույն մասը AL-ը CF-ի նկատմամբ է, և, քանի որ CD-ն մեծ է CF-ից, GK-ը նույնպես մեծ է AL-ից։ Թող GM-ը վերցվի հավասար AL-ին։ Այսպիսով, ինչ մաս GK-ը CD-ի նկատմամբ է, GM-ը նույն մասը է CF-ի նկատմամբ։ Ուստի MK մնացորդը նույնպես նույն մաս է FD մնացորդի նկատմամբ, ինչ GK ամբողջը CD ամբողջի նկատմամբ է [Բանաձև 7.5]։
Նույն կերպ, քանի որ ինչ մաս KH-ը CD-ի նկատմամբ է, EL-ը նույն մաս է CF-ի նկատմամբ, և CD-ն մեծ է CF-ից, HK-ն ավելի մեծ է EL-ից։ Թող KN-ը հավասարեցվի EL-ին։ Այսպիսով, ինչ մաս KH-ը CD-ի նկատմամբ է, KN-ը նույն մաս է CF-ի նկատմամբ։ Ուստի NH մնացորդը նույնպես նույն մաս է FD մնացորդի նկատմամբ, ինչ KH ամբողջը CD ամբողջի նկատմամբ է [Բանաձև 7.5]։
Ուստի MK մնացորդը նույնպես ցույց տրվեց, որ նույն մաս է FD մնացորդի նկատմամբ, ինչ GK ամբողջը CD ամբողջի նկատմամբ է։ Ուստի MK և NH գումարը նույն մասերն են DF-ի նկատմամբ, ինչ HG ամբողջը CD ամբողջի նկատմամբ է։ Եվ MK, NH գումարը հավասար է EB-ին, իսկ HG-ը՝ BA-ին։ Ուստի EB-ն մնացորդը նույնպես նույն մասերն է FD մնացորդի նկատմամբ, ինչ AB ամբողջը CD ամբողջի նկատմամբ է։ (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր, ինչ)։
Նշում: Ժամանակակից նշանմամբ, եթե a = (m/n)*d, ապա եթե a = (k/l)*c, ապա b = (k/l)*d, որտեղ բոլոր նշանները թվեր են։
== Պնդում 9 ==
Եթե մի թիվ մաս է մեկ թվի, և մեկ այլ (թիվ) նույն մասը (կամ նույն մասերն) է մեկ այլ թվի, ապա, փոխարինաբար, թե որ մասը, կամ մասերն էլ որ առաջին (թիվը) լինի երրորդի նկատմամբ, երկրորդ (թիվը) նույնպես կլինի նույն մասը կամ մասերը մյուսի նկատմամբ կամ նույն մասերը, չորրորդ։
[[Պատկեր:1.18.png|center|200px]]
Եթե մի թիվ մաս է մեկ թվի, և մեկ այլ (թիվ) նույն մասը (կամ նույն մասերն) է մեկ այլ թվի, ապա, փոխարինաբար, թե որ մասը, կամ մասերն էլ որ առաջին (թիվը) լինի երրորդի նկատմամբ, երկրորդ (թիվը) նույնպես կլինի նույն մասը կամ մասերը մյուսի նկատմամբ։
Թող A թիվը լինի BC թվի մի մաս, և D թիվը լինի նույն մասը մեկ այլ EF թվի, ինչ A-ն է BC-ի։ Բանաձև եմ, որ նաև, փոխարինաբար, թե որ մասը, կամ մասերն էլ որ A-ն ունենա D-ի նկատմամբ, BC-ն նույնպես կունենա նույն մասը, կամ մասերը EF-ի նկատմամբ։
Քանի որ ինչ մաս A-ն ունի BC-ի նկատմամբ, D-ն նույն մաս ունի EF-ի նկատմամբ, ապա քանի թվեր կան BC-ի մեջ, որոնք հավասար են A-ին, նույնքան թվեր կլինեն EF-ի մեջ, որոնք հավասար են D-ին։ Թող BC-ը բաժանված լինի BG և GC մասերի, հավասար A-ին, իսկ EF-ը բաժանված լինի EH և HF մասերի, հավասար D-ին։ Այսպիսով, BG և GC բաժանումների քանակը հավասար կլինի EH և HF բաժանումների քանակին։
Ուստի, քանի որ BG և GC թվերը հավասար են միմյանց, իսկ EH և HF թվերը նույնպես հավասար են միմյանց, և BG, GC բաժանումների քանակը հավասար է EH, HF բաժանումների քանակին, ապա ինչ մասը, կամ մասերը եւ որ BG-ն ունենա EH-ի նկատմամբ, նույնքան մաս է GB-ն ունենալու HE-ի նկատմամբ։ Եվ այդպիսով, ինչ մասը, կամ մասերը հետագա բաժանումներում համապատասխանում են, իսկ ինքը համաչափաբար համապատասխանում են։ Եվ, հետևաբար, ինչ մասը, կամ մասերը AB-ն ունի C-ի նկատմամբ, C-ն նույնպես նույն մասերը կամ նույն մասը կունենա F-ի նկատմամբ։ (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր, ինչ)։
*(Ժամանակակից նշանմամբ, եթե a = (1/n)*d, ապա եթե a = (k/l)*c, ապա b = (k/l)*d, որտեղ բոլոր նշանները ներկայացնում են թվեր):
== Պնդում 10† ==
Եթե մի թիվ մաս է մեկ թվի, և մեկ այլ (թիվ) նույն մասերն է մեկ այլ թվի, ապա նաև, փոխարինաբար, թե որ մասերը կամ մասերը էլ որ առաջին թիվը ունենա երրորդի նկատմամբ, երկրորդ թիվը նույնպես կունենա նույն մասերը կամ նույն մասերը, չորրորդի նկատմամբ։
Թող AB թիվը լինի C թվի մասերը, իսկ DE թիվը լինի F թվի նույն մասերը։ Բանաձև եմ, որ նաև, փոխարինաբար, թե որ մասը, կամ մասերը AB-ն ունի C-ի նկատմամբ, DE-ն նույնպես կունենա նույն մասերը կամ նույն մասը F-ի նկատմամբ։
[[Պատկեր:1.19.png|center|200px]]
Քանի որ ինչ մասեր AB-ն ունի C-ի նկատմամբ, DE-ն նույն մասերը կունենա F-ի մեջ, ուրեմն քանի մասով AB-ն բաժանում է C-ը, նույնքան մասով DE-ն բաժանում է F-ը։ Թող AB-ը բաժանվի C-ի մասերի՝ AG և GB, իսկ DE-ը բաժանվի F-ի մասերի՝ DH և HE։ Այսպիսով, AG և GB բաժանումների քանակը հավասար կլինի DH և HE բաժանումների քանակին։ Եվ, քանի որ ինչ մաս կամ մասեր AG-ն ունի C-ի նկատմամբ, DH-ն նույնպես ունի նույն մասերը կամ մասերը F-ի նկատմամբ, նաև փոխարինաբար, ինչ մաս կամ մասերը AG-ն ունի DH-ի նկատմամբ, C-ն նույնպես նույն մասերը կամ նույն մասը կունենա F-ի նկատմամբ [Բանաձև 7.9]։ Նույն պատճառով, ինչ մաս կամ մասերը GB-ն HE-ի նկատմամբ է, C-ն նույնպես նույն մասերը կամ մասերը կունենա F-ի նկատմամբ [Բանաձև 7.9]։ Եվ ինչ մաս կամ մասերը AG-ն DH-ի նկատմամբ է, GB-ն նույն մասերը կամ մասերը կունենա HE-ի նկատմամբ [Բանաձև 7.5, 7.6]։ Բայց ինչ մաս կամ մասերը AG-ն DH-ի նկատմամբ է, նաև ցույց տրվեց, որ C-ն նույն մասը կամ մասերը ունի F-ի նկատմամբ։ Ուստի, ինչ մասեր կամ որ մասը AB-ն ունի C-ի նկատմամբ, C-ն նույնպես նույն մասերը կամ samu մասերը կունենա F-ի նկատմամբ։ (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր, ինչ)։
*(Ժամանակակից նշանմամբ, եթե a = (m/n)*d, ապա եթե a = (k/l)*c, ապա b = (k/l)*d, որտեղ բոլոր նշանները թվեր են):
== Պնդում 11 ==
Եթե, ինչպես ամբողջ AB-ն ամբողջ CD-ի նկատմամբ է, նույն ձևով AE հանված մասը CF հանված մասի նկատմամբ է, ապա մնացորդը նույնպես կլինի նույն մասը մնացորդի, ինչ հարաբերությամբ, ինչ ամբողջը է ամբողջի նկատմամբ։
Թող ամբողջ AB-ն լինի ամբողջ CD-ի նկատմամբ այնպիսին, ինչ AE հանված մասը CF հանված մասի նկատմամբ է։ Բանաձև եմ, որ EB մնացորդը նույնպես կլինի նույն բաժինը FD մնացորդի նկատմամբ, ինչ ամբողջ AB-ն է ամբողջ CD-ի նկատմամբ։
[[Պատկեր:1.20.png|center|200px]]
Քանի որ ինչպես AB-ը CD-ի նկատմամբ է, այնպես AE-ը CF-ի նկատմամբ է, ապա ինչ մասեր կամ մասը AB-ն ունի CD-ի նկատմամբ, AE-ն նույնպես նույն մասը կամ մասերն ունի CF-ի նկատմամբ [Սահմ. 7.20]։ Ուստի EB մնացորդը նույնպես նույն մասը կամ մասերն ունի FD մնացորդի նկատմամբ, ինչ AB-ն ունի CD-ի նկատմամբ [Բանաձև 7.7, 7.8]։ Այսպիսով, ինչպես EB-ն FD-ի նկատմամբ է, այնպես AB-ն CD-ի նկատմամբ է [Սահմ. 7.20]։ (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր, ինչ)։
== Պնդում 12† ==
Եթե կամայական քանակի թվեր համաչափ են, ապա ինչպես առաջավոր (թվերից) մեկը (է) հետագային, այնպես էլ (արդյունքում) բոլոր առաջավոր (թվերի) գումարը (կլինի) բոլոր հետագա (թվերի) գումարի նկատմամբ:
[[Պատկեր:1.21.png|center|200px]]
Թող կամայական քանակի թվեր A, B, C, D համաչափ լինեն (այնպես, որ ինչպես A-ն է B-ի նկատմամբ, այնպես C-ն D-ի նկատմամբ է): Ասում եմ, որ ինչպես A-ն է B-ի նկատմամբ, այնպես էլ A և C (համատեղ) B և D (համատեղ) նկատմամբ են:
Քանի որ ինչպես A-ն է B-ի նկատմամբ, այնպես էլ C-ն D-ի նկատմամբ է, ապա ինչ մաս կամ մասերն էլ A-ն ունենա B-ի նկատմամբ, C-ն նույնպես նույն մաս կամ մասերն ունի D-ի նկատմամբ [Սահմ. 7.20]: Այդպիսով, A և C գումարը նույնպես նույն մաս կամ նույն մասերն են B և D գումարի նկատմամբ, ինչ A-ն B-ի նկատմամբ [Բանաձև 7.5, 7.6]: Ուստի, ինչպես A-ն B-ի նկատմամբ է, այնպես էլ A, C (համատեղ) B, D (համատեղ) նկատմամբ են [Սահմ. 7.20]: (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ):
Ժամանակակից մեկնություն (†)
Ժամանակակից նշանմամբ, այս առաջարկությունն ասում է, որ եթե a : b :: c : d, ապա a : b :: a + c : b + d, որտեղ բոլոր նշանները ներկայացնում են թվեր։
