Changes
/* Պնդում 32 */
ABC-ն եռանկյուն է և նրա կողմերից մեկին՝ BC-ին, ավելացված է D հատվածը։ Պնդումն այն է, որ ACD արտաքին անկյունը հավասար է երկու ներքին և հակադիր անկյուններ CAB-ի և ABC-ի գումարին և եռանկյան երեք ներքին անկյունների՝ ABC, BCA, և CAB, գումարը հավասար է երկու ուղիղ անկյան։
AB ուղղին զուգահեռ գծված է CE ուղիղը, որն անցնում է C կետով [[[#Պնդում 31|Պնդում 1.31]] ]։
Քանի որ AB և CE հատվածները զուգահեռ են, BAC և ACE խաչադիր անկյունները իրար հավասար են [[[#Պնդում 29|Պնդում 1.29]] ]։ Կրկին, քանի որ AB և CE ուղիղները զուգահեռ են և BD ուղիղը հատում է դրանք ECD արտաքին անկյունը հավասար է ABC ներքին և հակադիր անկյանը [[[#Պնդում 29|Պնդում 1.29]] ]։ Բայց, ցույց է տրված, որ ACE անկյունը հավասար է BAC անկյանը։ Հետևաբար, ACD անկյունը ամբողջությամբ հավասար է երկու ներքին և հակադիր անկյունների՝ BAC-ի և ABC-ի, գումրին։
Երկու անկյուններին ավելացնենք ACB անկյունը։ Հետևաբար, ACD և ACB անկյուննեի գումարը հավասար է երեք անկյուններ ABC, BCA, և CAB-ի գումարին։ Բայց, ACD և ACB անկյունների գումարը հավասար է երկու ուղիղ անկյունների [[[#Պնդում 13|Պնդում 1.13]] ]։ Հետևաբար, ACB, CBA և CAB անկյունների գումարը նույնպես հավասար է երկու ուղիղ անկյան։
Հետևաբար, եթե ցանկացած եռանկյան կողմերից մեկը ընդարձակենք, ապա արտաքին անկյունը հավասար կլինի երկու ներքին և հակադիր անկյունների գումարին, իսկ երեք ներքին անկյունների գումարը հավասար կլինի երկու ուղիղ անկյունների։ Սա այն էր, ինչ պետք էր ապացուցել։
