Changes

Եթե հատվածը մասնատենք արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա փոքր հատվածի և մեծ հատվածի կեսի գումարի քառակուսին հավասար է մեծ հատվածի կեսի քառակուսու հնգապատիկին։ [[Պատկեր:Nkar_3.png|280px|thumb|left|Նկ․ 3]] Դիցուք՝ եթե Թող ինչ-որ ուղիղ գիծ AB հատվածը բաժանենք կտրված լինի արտաքին և միջին հարաբերությամբ Cկետում։ Եվ թող AC-ում, այնպես որ AC մեր ն լինի մեծ հատվածն է, և կտորը։ Եվ թող AC-ն կիսենք կտրված լինի կեսում՝ D-ումկետում։ Ասում եմ, ապա <math>որ BD^2 = 5\cdot -ի վրա քառակուսին հնգապատիկն է DC^2</math> ''(Նկ․ 3)'':-ի վրա քառակուսու։ Դիտարկենք Թող AE անկյունագծով քառակուսին, ինչպես ցույց է տրված ''Նկ․ 3''նկարագրված լինի AB-ում։ ի վրա։ Եվ թող պատկերն լիներ կրկնակի։ Քանի որ <math>DC = \frac{AC}{2}</math>-ն կրկնապատիկ է DC-ից, ապա <math>AC^2 = 4\cdot -ի վրա քառակուսին՝ դա չորսապատիկն է DC^2</math> (-ի վրա քառակուսու՝ այսինքն՝ RS անկյունագծով քառակուսու մակերեսը հավասար -ն չորսապատիկն է 4 անգամ FG անկյունագծով քառակուսու մակերեսին)։ -ից։ Եվ AB և BC կողմերով ուղղանկյան մակերեսը քանի որ ABC-ում պարունակվող ուղղանկյունը հավասար է AC կողմով քառակուսու մակերեսին ''(Սահմ․ 6․3-ի վրա քառակուսուն [Սահմանում 6.3, Պնդ․ 6․17)''Պնդում 6.17], որն էլ հավասար և CE-ն ABC-ում պարունակվող ուղղանկյունն է CBES ուղղանկյան մակերեսին, հետևաբար վերջինս ապա CE-ն հավասար է RS անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ -ին։ Եվ RS-ն չորսապատիկն է FG-ից։ Այսպիսով CBES ուղղանկյան մակերեսը հավասար , CE-ն նույնպես չորսապատիկն է 4 անգամ FG անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Ինչպես գիտենք <math>-ից։ Վերջապես, քանի որ AD = -ն հավասար է DC</math>-ին,և <math>ապա HK = -ն նույնպես հավասար է KF</math>-ին։ Ուստի, հետևաբար HL և GF անկյունագծերով քառակուսիների մակերեսները քառակուսին նույնպես հավասար են։ է HL քառակուսուն։ Այսպիսով <math>, GK = -ն հավասար է KL </math>, այնպես ինչպես <math>-ին՝ այսինքն՝ MN = -ն հավասար է NE</math>։ Քանի որ -ին։ Ուստի, MF անկյունագծով ուղղանկյայն մակերեսը -ն նույնպես հավասար է FE և -ին։ Բայց, MF-ն հավասար է CG անկյունագծերով ուղանկյունների մակերեսներին-ին։ Այսպիսով, հետևաբար վերջիններս CG-ն նույնպես հավասար են: Եթե СN անկյունագծով ուղղանկյունն ավելացնենք երկուսին էլ, ապա կարող ենք ասելէ FE-ին։ Թող CN-ը ավելացվի երկուսի վրա։ Այսպիսով, որ գնոմոն գնոմոնը OPQ հավասար է CE անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսին։ Եվ ինչպես ցույց էր տրվել վերևում-ին։ Բայց, CE անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսը -ն ցույց տրված է, որ հավասար է 4 անգամ FG անկյունագծով քառակուսու մակերեսինչորսապատիկ GF-ին։ Այսպիսով, հետևաբար գնոմոն գնոմոնը OPQ-ն նույնպես հավասար չորսապատիկն է FG անկյունագծով քառակուսու մակերեսի քառապատիկին։ Հետևաբար գնոմոն GF քառակուսուց։ Այսպիսով, գնոմոնը OPQ հավասար գումարած GF քառակուսին հնգապատիկն է 5 անգամ FG-ի մակերեսին։ GF քառակուսուց։ Բայց մենք գիտենք, որ գնոմոն գնոմոնը OPQգումարած GF քառակուսին դա DN քառակուսին է։ Եվ DN-ը DB-ի և FG անկյունագծով քառակուսու մակերեսի գումարը հավասար վրա քառակուսին է DN անկյունագծով քառակուսու մակերեսին։ Իսկ վերջինիս մակերեսը հավասար է <math>DB^2</math>, իսկ GF անկյունագծով քառակուսու մակերեսը հավասար է <math>-ն՝ DC^2</math>: -ի վրա քառակուսին։ Այսպիսով <math>, DB^2 = 5\cdot -ի վրա քառակուսին հնգապատիկն է DC^2</math>-ի վրա քառակուսու։ (Իսկ դա էր, ինչը և պահանջվում ինչ պետք էր ապացուցել։ցույց տալ)։

Եթե հատվածը մասնատենք ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա փոքր ամբողջ գծի և մեծ հատվածների փոքր կտորի վրա քառակուսիների գումարը հավասար երեքապատիկն է մեծ հատվածի քառակուսու եռապատիկին։ [[Պատկեր:Nkar_4.png|280px|thumb|left|Նկ․ 4]]կտորի վրա քառակուսու։

Դիցուք՝ Թող AB հատվածը բաժանված լինի ուղիղ գիծ, և թող այն կտրված լինի արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, և թող AC-ն լինի մեծ կտորը։ Ասում եմ, որ AB և BC-ի վրա քառակուսիների գումարը երեքապատիկն է CA-ի վրա քառակուսուց։Թող ADEB քառակուսին նկարագրված լինի AB-ի վրա, և թող մնացած պատկերն ընդունի իր ձևը։ Քանի որ AB-ն կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ СC կետում, և AC-ն մեծ կտոր է, ապա ABC-ումպարունակվող ուղղանկյունը հավասար է AC-ի վրա քառակուսուն [Սահմանում 6.3, որտեղ Պնդում 6.17]։ Եվ AK-ն է ABC-ում պարունակվող ուղղանկյունը, և HG-ն՝ AC-ի վրա քառակուսին։ Այսպիսով, AK-ն մեծ հատվածն հավասար է ''HG-ին։ Եվ քանի որ AF-ն հավասար է FE-ին [Պնդում 1.43], թող CK-ը ավելացվի երկուսի վրա։ Այսպիսով, ամբողջ AK-ն հավասար է ամբողջ CE-ին։ Այսպիսով, AK-ն և CE-ն միասին հավասար են երկու անգամ AK-ին։ Բայց, AK-ն և CE-ն միասին դա է գնոմոնը LMN, որը գումարած CK քառակուսին։ Այսպիսով, գնոմոն LMN գումարած CK քառակուսին հավասար է երկու անգամ AK-ին։ Բայց, իսկապես, AK-ն նաև ցույց տրված է, որ հավասար է HG-ին։ Այսպիսով, գնոմոն LMN գումարած CK քառակուսին հավասար է HG-ին։ Եվ այսպիսով, գնոմոն LMN գումարած CK և HG քառակուսիները երեքապատիկն են HG քառակուսուց։ Եվ գնոմոն LMN գումարած CK և HG քառակուսիները ամբողջ AE-ն են գումարած CK-ը՝ որոնք են AB և BC քառակուսիները (Նկ․ 4համապատասխանաբար)''։ Ես պնդում եմ, որ <math>և GH-ը՝ AC-ի վրա քառակուսին։ Այսպիսով, AB^2 + և BC^2 = 3\cdot CA^2</math>:-ի վրա քառակուսիների գումարը երեքապատիկն է AC-ի վրա քառակուսուց։ (Իսկ դա էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։

Դիտարկենք քառակուսի ADEB ''(Նկ․ 4)'': Քանի որ AB մասնատված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ С-ում, որտեղ AC-ն մեծ հատվածն է, ապա <math>AB \cdot BC = AC^2</math> AB և BC կողմերով ուղղանկյան մակերեսը AC կողմով քառակուսու մակերեսին (Սահմ․ 6․3, Պնդ․ 6․17)։ AK անկյունագծով ուղղանկյունը հավասար է AB և BC կողմերով ուղղանկյանը, և HG անկյունագծով քառակուսին հավասար է AC կողմով քառակուսուն, հետևաբար AK և HG անկյունագծով ուղղանկյունների մակերեսները հավասար են։ Քանի որ AF և FE անկյունագծերով ուղղանկյունները հավասար են (Պնդ․ 1․43), և CBKF քառակուսին ընդհանուր է, հետևաբար ABKH և CBEG ուղանկյունները հավասար են։ Այսպիսով, AK և CE անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարը հավասար է AK անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսի կրկնապատիկին։ Քանի որ AK և CE անկյունագծերով ուղղանկյունների մակերեսների գումարը հավասար է գնոմոն LMN-ի և CK անկյունագծով քառակուսու մակերեսների գումարին, ապա գնոմոն LMN և CK-ն հավասար է AK անկյունագծով ուղղանկյան մակերեսի կրկնապատիկին: Եվ ինչպես ցույց էր տրվել վերևում, վերջինս հավասար է նաև HG անկյունագծով քառակուսուն, հետևաբար գնոմոն LMN-ը= Պնդում 5 ==