Changes
''Հետևաբար, եթե երկու ուղիղներ զուգահեռ են, և դրանցից մեկը ուղղահայաց է որևէ հարթության, ապա մյուսը նույնպես կլինի ուղղահայաց նույն հարթությանը։ Որն էլ անհրաժեշտ էր ցույց տալ։''
== '''Պնդում 9''' ==
Երկու ուղիղներ զուգահեռ են երրորդ ուղղին որը նրանց հետ նույն հարթության մեջ չի գտնվում, ապա այդ ուղիղները միմյանց նկատմամբ նույնպես զուգահեռ են։
[[Պատկեր:Նկար-3.png]]
'''AB''' և '''CD''' ուղիղներից յուրաքանչյուրը զուգահեռ է '''EF''' ուղղին, որը նույն հարթության մեջ չէ։ Ցույց տանք, որ '''AB''' և '''CD''' ուղիղները զուգահեռ են։ Պատահականորեն վերցնենք մի '''G''' կետ '''EF''' ուղղի վրա։ '''GH''' ուղիղը '''EF''' ուղղի հետ կազմում է ուղիղ անկյուն '''EF''' և '''AB''' ուղիղներով անցնող հարթության մեջ։ Եվ '''EF'''-ն ուղղահայաց է '''GK''' ուղղին՝ '''FE''' և '''CD''' ուղիղներով անցնող հարթության վրա։
Եվ քանի որ '''EF''' ուղիղը ուղղահայաց է '''GH'''-ին և '''GK'''-ին, ապա '''EF'''-ն ուղղաձիգ է նաև '''GH'''-ի և '''GK'''-ի միջով անցնող հարթությանը [Պնդ․ 11.4]: Եվ '''EF''' ուղիղը '''AB'''-ին զուգահեռ է։ Ուստի '''AB'''-ն նույնպես ուղղահայաց է '''HGK''' հարթությանը [Պնդ․ 11.8]: Հանգունորեն '''CD'''-ն նույնպես ուղղահայաց է '''HGK''' հարթությանը։
Արդյունքում՝ '''AB''' և '''CD''' ուղիղները ուղղահայաց են '''HGK''' հարթությանը։ Իսկ եթե երկու ուղիղներ նույն հարթությանն ուղղահայաց են, ապա այդ ուղիղները զուգահեռ են [Պնդ․ 11․6]: Ուստի '''AB'''-ն զուգահեռ է '''CD'''-ին։ Ինչ պետք էր ապացուցել։
== '''Պնդում 10''' ==
Եթե երկու հատվող ուղիղներ զուգահեռ են այլ հարթության մեջ գտնվող երկու հատվող ուղիղների, ապա հարթությունները պարունակում են հավասար անկյուններ։
[[Պատկեր:Նկար-4.png]]
Իրար միացած երկու ուղիղները՝ '''AB''' և '''BC''', զուգահեռ են (համապատասխանաբար) միմյանց միացած երկու ուղիղների՝ '''DE''' և '''EF''' որոնք վերջիններս ընկած չեն '''AB''' և '''BC''' ուղիղներով անցնող հարթությանը։ Ցույց տանք, որ '''ABC''' անկյունը հավասար է '''DEF''' անկյանին:
'''BA''', '''BC''', '''ED''' և '''EF''' ուղիղները կտրենք (այնպես, որ համապատասխանաբար հավասար լինեն միմյանց): Միացնենք '''AD''', '''CF''', '''BE''', '''AC''' և '''DF''' հատվածները: Եվ քանի որ '''BA''' ուղիղը հավասար և զուգահեռ է '''ED'''-ին, Հետևաբար '''AD''' ուղիղը, նույնպես հավասար և զուգահեռ է '''BE''' ուղղին [Պնդ. 1.33]: Հանգունորեն '''CF''' ուղիղը նույնպես հավասար և զուգահեռ է '''BE'''-ին: Այսպիսով, '''AD''' և '''CF''' հատվածներից յուրաքանչյուրը հավասար և զուգահեռ են '''BE'''-ին:
Նույն ուղղին զուգահեռ ուղիղները, որոնք նրա հետ նույն հարթության մեջ չեն, զուգահեռ են միմյանց [Պնդ. 11.9]։ Այսպիսով, '''AD''' հատվածը զուգահեռ է և հավասար է '''CF'''-ին: '''AC''' և '''DF''' միացնենք նրանց: Այսպիսով, '''AC'''-ը նույնպես հավասար է և զուգահեռ '''DF''' հատվածին [Պնդ. 1.33]:
Եվ քանի որ երկու հատվածներ '''AB'''-ն և '''BC'''-ն հավասար են երկու հատվածներին՝ '''DE'''-ին և '''EF'''-ին (համապատասխանաբար), իսկ '''AC''' հիմքը հավասար է '''DF''' հիմքին, այսպիսով '''ABC''' անկյունն հավասար է '''DEF''' անկյանը [Պնդ. 1.8]:
''Հետևաբար, եթե միմյանց միացված երկու ուղիղները (համապատասխանաբար) զուգահեռ են միմյանց միացած երկու ուղիղներին, որոնք ընկած չեն նույն հարթության մեջ ինչ որ սկզբնական երկու ուղիղները, ապա դրանք կպարունակեն հավասար անկյուններ։ Որը անհրաժեշտ էր ցույց տալ։''
