Changes
Քանի որ ինչպես ԲԱ-ն է ԱՑ-ին հարաբերվում, այնպես էլ ԵՖ-ի վրա կառուցված քառակուսուն ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսուն, ավելին, ԲԱ-ն մեծ է ԱՑ-ից, ուրեմն քառակուսին ԵՖ-ի վրա մեծ է քառակուսուց ՖԳ-ի վրա։ Հետևաբար, թող ՖԳ-ի և Հ-ի վրա գտնվող քառակուսիների գումարը հավասար լինի ԵՖ-ի վրա գտնվող քառակուսուն։ Ուստի, ինչպես ԱԲ-ն է հարաբերում ԲՑ-ին, այնպես էլ ԵՖ-ի վրա կառուցված քառակուսին է հարաբերում Հ-ի վրա գտնվող քառակուսուն։ Եվ ԱԲ-ն ԲՑ-ի հետ չունի այն հարաբերությունը, որը որևիցե քառակուսի թիվ ունի որևիցե այլ քառակուսի թվի հետ։ Ուստի ԵՖ քառակուսին չունի այն հարաբերությունը, որը որևիցե քառակուսի թիվ ունի որևիցե քառակուսի թվի հետ։ Ուստի ԵՖ-ն համաչափելի չէ Հ-ի հետ երկարությամբ։ Ուստի քառակուսին ԵՖ-ի վրա մեծ է ՖԳ-ի վրա գտնվող քառակուսուց այն քառակուսու չափով, որը գտնվում է մի ուղիղ գծի վրա, որը համաչափելի չէ ԵՖ-ի հետ երկարությամբ։ Եվ ԵՖ-ն և ՖԳ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսով։ Եվ ԵՖ-ն համաչափելի է Դ-ի հետ երկարությամբ։ Հետևաբար, ԵԳ-ն չորրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [[Սահմանում 10.8 | Սահմանում 10.8]]:†։ Ինչն էլ հենց պահանջվում էր ցույց տալ:
†Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծն ունի միավոր երկարություն, ապա երրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գծի երկարությունը կլինի <math> k \left(1+\frac{1}{\sqrt{1/√1 + k′k'}}\right). </math> Սա և չորրորդ ապոտոմեն, որի երկարությունըk երկարությունը <math> k \left(1 − - \frac{1}{\sqrt{1/√1 + k′k'}}\right) . </math> [[Պնդում 10.8 | Պնդում 10.8]], x2 − 2 k <math> x ^2 - 2kx + k2 k′/(\frac{k^2 k'}{1 + k′) k'} = 0 . </math> հավասարման արմատներն են:
Ուստի ՖԳ-ն համաչափելի չէ Հ-ի հետ երկարությամբ [[Պնդում. 10.9 | Պնդում. 10.9]]։ Ուստի ՖԳ-ի վրա գտնվող քառակուսին մեծ է ԵՖ-ի վրա գտնվող քառակուսուց այն քառակուսու չափով, որը մի ուղիղ գծի վրա է, որը համաչափելի չէ ՖԳ-ի հետ երկարությամբ։ Եվ ԳՖ-ն և ԵՖ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով։ Եվ ավելի փոքր կողմը` ԵՖ-ն համաչափելի է երկարությամբ այն ռացիոնալ ուղիղ գծի հետ, որը նախկինում տարվել էր Դ-ով†: Ուստի ԵԳ-ն հինգերորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է։ Ինչն էլ հենց պահանջվում էր ցույց տալ:
†Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծն ունի միավոր երկարություն, ապա հինգերորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գծի երկարությունը կլինի <math> k \left(√1 \sqrt{1 + k′ k'} +1\right). </math> Սա և հինգերորդ ապոտոմեն, որի երկարությունըk երկարությունը <math> k \left(√1 \sqrt{1 + k′ − k'} - 1\right) . </math> [[Պնդում 10.89 | Պնդում 10.89]], x2 − <math> x^2 k√1 - 2k\sqrt{1 + k′ k'}x + k2 k′ k^2 k' = 0 . </math> հավասարման արմատներն են:
Ուրեմն, ՖՀ-ն վեցերորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծն է [[Սահմանում 10.10 | Սահմանում 10.10]]։† Ինչն էլ պահանջբում էր ցույց տալ:
†Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծն ունի միավոր երկարություն, ապա վեցերորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գծի երկարությունը կլինի √k + √k′: Սա և վեցերորդ ապոտոմեն, որի երկարությունը √k −√k′ է [[Պնդում 10.90 | Պնդում 10.90]], x2 − 2√k <math> x^2 - 2\sqrt{k}x + (k − k′- k') = 0. </math>. հավասարման արմատներն են:
Այսպիսով, ՄՕ-ն և՛ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [[Պնդում 10.36 | Պնդում 10.36]], և՛ ԱՑ-ի քառակուսի արմատը: Ինչն էլ հենց պահանջվում էր ապացուցել:
† Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծը ունի միավոր երկարություն, ապա այս տեսության համաձայն, առաջին երկբաղադրիչ ուղիղ գծի քառակուսի արմատը ևս երկբաղաադրիչ ուղիղ գիծ է: Այն է, առաջին երկբաղադրիչ ուղիղ գիծը ունի <math> k + k√1 − k′ k\sqrt{1 - k'^2 }. </math> երկարությունը, որի քառակուսի արմատը ρ <math> \rho \left(1 +√k′′\sqrt{k''}\right). </math>-ն է, որտեղρ որտեղ <math> \rho = \frac{pk (1 + k′k')/}{2 }. </math> և k′′ <math> k'' = (\frac{1 − k′)/(- k'}{1 + k′)k'}. </math>. Սա երկբաղադրիչ ուղիղ գծի երկարությունն է (Տես Պնդում 10.36), քանի որ ρ-ն ռացիոնալ է:
Այսպիսով, ՄՕ-ն առաջին երկմիջային ուղիղ գիծ է , ինչն էլ պահանջվում էր ցույց տալ:
† Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծն ունի միավոր երկարություն, ապա, այս տեսության համաձայն` երկրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գծի քառակուսի արմատը հավասար է <math> \frac{k/√1 − k′ }{\sqrt{1 - k'^2 }} + k. </math>, որի քառակուսի արմատը կլինի ρ <math> \rho \left(k′′1k''^{1/4 } + k′′3k''^{3/4}\right). </math>, որտեղ ρ <math> \rho = p\left(\frac{k/}{2} \right) \frac{(1 + k′k')/}{(1 − k′) և k′′ = (1−k′- k')}, </(math> <math> k'' = \frac{1 - k'}{1+k′)k'}. </math>: Սա առաջին երկբաղադրիչ ուղիղ գծի երկարությունն է (Տես Պնդում 10.3), քանի որ ρ-ն ռացիոնալ է:
† Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծն ունի միավոր երկարություն, ապա, այս տեսության համաձայն` երրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գծի քառակուսի արմատը երկրորդ երկմիջնորդ ուղիղ գիծ է. այն է` երրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծը ունի k1<math> k^{1/2 } \left(1+√1 − k′ \sqrt{1 - k'^2}\right) . </math> երկարություն, որի քառակուսի արմատն է` ρ <math> \rho \left(k1k^{1/4 } +k′′1\frac{k''^{1/2/k1}}{k^{1/4}}\right). </math>, որտեղ ρ <math> \rho = p\left(\frac{1 + k′k'}{2} \right). </2 math> և k′′ <math> k'' = \frac{k (1 − k′- k')/(}{1 + k′)k'}. </math>. Սա երկրորդ երկմիջնորդի երկարությունն էeէ (Տես Պնդում 10.38), քանի որ ρ-ն ռացիոնալ է:
† Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծն ունի միավոր երկարություն, ապա, այս տեսության համաձայն` չորրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծն ունի <math> k \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1/√1 + k′k'}}\right) . </math> երկարությունը, որի արմատը ρq<math> \rho q \left[\frac{1 + k′′/(\frac{k''}{\sqrt{1 + k′′ k''^2)1/}}}{2} \right]/2 + ρq\rho q \left[\frac{1 − k′′/(- \frac{k''}{\sqrt{1 + k′′ k''^2)1/}}}{2} \right]. </2math>-ն է, որտեղ ρ = √k և k′′ 2 = k′, սա առանցքային ուղիղ գծի երկարությունն է (Տես Պնդում. 10.39), քանի որ ρ-ն ռացիոնալ է:
† Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծն ունի միավոր երկարություն, ապա, այս տեսության համաձայն` հինգերորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գծի արմատը հավասար է ռացիոնալ թվի արմատի և միջնականի գումարին, այն է, հինգերորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գծի երկարությունը <math> k \left(√1 \sqrt{1 + k′ k'} + 1\right) . </math> է, որի արմատը ρq<math> \rho q \left[(\frac{\sqrt{1 + k′′ 2)1/k''^2 } + k′′]/[k''}{2 (1 + k′′ k''^2)} \right] + ρq\rho q \left[(\frac{\sqrt{1 + k′′ k''^2)1/2 − k′′]/[} - k''}{2 (1 + k′′ k''^2)} \right]. </math>-ն է, որտեղ ρ = pk (1 + k′′ 2) և k′′ 2 = k, սա ռացիոնալ թվի արմատի և միջնականի գումարն է (Տես Պնդում. 10.40), քանի որ ρ-ն ռացիոնալ է:
† Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծն ունի միավոր երկարություն, ապա, այս տեսության համաձայն` վեցերորս երկբաղադրիչ ուղիղ գիծը երկու միջնականների գումարի արմատն է, այն է, վեցերորդ ուղիղ գիծն ունի √k + √k′ երկարություն, որի քառակուսի արմատն է
